Umgangston! Definition und Axiom

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BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Definition und Axiom
Kann jemand den konkreten Unterschied von Definitionen zu Axiomen erklären. Ich sehe nämlich keinen.

Mal als Beispiel das Extensionalitätsaxiom aus ZFC:

"Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben."

Dieses Axiom erfüllt in meinen Augen auch alle Bedingungen für eine Definition.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition und Axiom
hallo buckelfips,
das sehe ich aber ganz anders, zwischen definitionen und axiomen besteht
normalerweise ein riesenunterschied. Axiome sind grundtatsachen, die man
annimmt, damit ein system überhaupt funktionert, und die man nicht durch
andere sachen herleiten kann.
 
 
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom
Eine Definition die einen Begriff mit (nicht erklärten) Grundbegriffen definiert ist für mich wie ein Axiom, bei dem ja auch nicht erklärte Begriffe in eine Aussage verpackt werden und ohne Beweis gültig sind, genau wie eine Definition ohne Beweis gültig ist.

Defintion: NeuerBegriff = Grundbegriff ...bla... Grundbegriff

Axiom: Menge bla... = Element bla...

Weitere Frage:

In Axiomen wird die Relation der Gleichheit verwendet also die Äquivalenz. Wieso kann ich diese in einem Axiom verwenden wenn diese doch erst viel später im Relationsbegriff auftaucht?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom
hallo buckelfips,
ein axiom kann man eben nicht beweisen, sondern nimmt es als grundtatsache,
worauf man dann ein system aufbauen kann, in dem man dann alles beweisen
kann.
Du kennst doch sicher die 5 peano-axiome, mit denen man die natürlichen
zahlen beschreibt. Da verhält es sich genauso. Durch die axiome wird zum
beispiel garantiert, das jede nat. zahl genau einen nachfolger hat und die
natürlichen zahlen nicht irgendwann in eine schleife laufen, die sich immer
wiederholt.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom und Definition
Und wo ist jetzt der konkrete Unterschied zwischen Definition und Axiom? Denn beide sind per se wahr.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Definition ist eine "Namensgebung", ein Axiom eine nicht ableitbare Aussage, die man voraussetzt. Zugegeben, das im Eingangsposting erwähnte Beispiel ist tricky. Der Unterschied ist meiner Meinung nach (aber ohne Gewähr), dass man nicht

"Zwei Mengen heißen 'gleich', wenn [...]"

sagt, sondern vielmehr festlegt

"Zwei Mengen sind gleich, wenn [...]",

ohne eigentlich darauf einzugehen, was es bedeutet, dass Mengen "gleich" sind. Man definiert also nicht den Begriff "Mengengleichheit", sondern geht über eine Eigenschaft.

Logik ist allerdings ein riesiges Gebiet. Wir haben hier auch den ein oder anderen guten Logiker "an Board", die sich da sicher nochmal deutlich besser auskennen.

air
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Definition
hallo buckerlfips,
wenn man die natürlichen zahlen nur "definierten" würde, wären dadurch
die vorgenannten eigenschaften, die man will. keineswegs selbstverstänlich.
Wer würde denn dann garantieren, dass zum beispiel die natürlichen zahlen
iirgendwann in eine schleife laufen würden ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

ollie3s Antworten sind mir übrigens ebenfalls deutlich zu schwammig, ich könnte da auch keinen Unterschied herauslesen. Wie gesagt, Logik ist aber wirklich ein sehr komplexes Thema, mit dem sich auch Otto-Normal-Studenten wie ich nur in fast lächerlichem Maße beschäftigen (müssen).

Ich kann wirklich nur empfehlen, das Feld hier jemandem zu überlassen, der sich deutlich besser in formaler Logik auskennt. Eventuell pseudo-nym? Ich meine mich zu erinnern, dass der viel mit Logik am Hut hat.

air
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom und Relation
@Airbalder:

Schon mal Danke für deine Antworten. Noch eine Frage zu der Relation in Axiomen.

Bisher habe ich die Relation sinngemäß folgendermaßen verstanden:
Relation ist das zielgerichtete "herauspicken" einer Teilmenge von Tupeln aus einer größeren Obermenge (bestehend aus allen Tupeln).

Da dies ja im Gebäude der Mathematik alles erst deutlich NACH den Axiomen erfolgt ist also die "Gleichheitsrelation" innerhalb von Axiomen nur eine Art sagen wir mal Scheinrelation?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir diese Frage vor langer Zeit auch schon gestellt. Es ist wirklich nicht einfach. Ich würde es mir so erklären, dass wir ohne jegliches, intuitives Verständnis von Sachverhalten auch in der Mathematik nicht auskommen.

Mengen sind formale Konstrukte, bedürfen daher einer Erklärung, wann sie als "gleich" zu erachten sind. Die Elemente einer Menge hingegen sind ja keine formalen Konstrukte (jedenfalls nicht i. A.), sondern vollkommen beliebig, daher benötigt man prinzipiell erstmal ein intuitives Verständnis von Gleichheit. Als Beispiel: Ich kann Mengen haben, die Äpfel und Birnen enthalten. Aber wann sind die Elemente dann gleich? Wenn es jeweils ein Apfel oder eine Birne ist, oder wenn es exakt der gleiche Apfel ist?
Natürlich stecken Mathematiker nur selten Äpfel in ihre Mengen, sondern in den Anwendungen dann doch formale Objekte, wie zum Beispiel (natürliche) Zahlen. In der ZFC-Sprache sind auch dies jedoch wieder nur Mengen, für die wir ja nun ein Verständnis von Gleichheit haben. Falls man Mengen von Funktionen hat, muss man eben einen Begriff dafür entwickeln, wann Funktionen "gleich" sind, und das hat man ja zum Beispiel.

Aber nochmal: Das sind lediglich meine momentanen Gedanken, ich kenne mich in formaler Logik oder auch ZFC nicht großartig aus, daher alles ohne Gewähr. Ich würde wirklich noch die Antwort von jemandem mit fundierterem Wissen abwarten. Ich finde die Thematik aber auch spannend. Da kann man viel nachdenken und förmlich zugucken, wie man anfängt, sich gedanklich zu verlaufen oder zu widersprechen etc. Augenzwinkern

air
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Relation
hallo buckelfips,
also ich verstehe deine probleme ja überhaupt nicht, ich glaube du ziehst
immer falsche schlüsse, das die gleichheit eine scheinrelation ist, halte ich
für absoluten quatsch.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom
@Air:

"Als Beispiel: Ich kann Mengen haben, die Äpfel und Birnen enthalten. Aber wann sind die Elemente dann gleich? Wenn es jeweils ein Apfel oder eine Birne ist, oder wenn es exakt der gleiche Apfel ist?"

Ich habe mir zu diesem Beispiel vor einiger Zeit folgendes gedacht.
Zwei Mengen A und B mit jeweils 1 Apfel drin. Damit sind die Mengen exakt gleich. Wenn ich diese Mengen A und B in eine neue Menge C packe also C={A,B} wird dies ja automatisch zu C={A} dank der Gleichheit von A und B. Und damit existierte die gesamte Zeit nur ein einziger Apfel. Obwohl ich am Anfang scheinbar mit zwei Äpfeln hantiert habe.

Dank Von Neumann lassen sich ja prinzipiell die gesamten mathematischen Objekte auf die leere Menge zurückführen. Auch Zahlen und geometrische Objekte bestehen also letztlich aus "Nichts" bzw. der leeren Menge. Find ich faszinierend.

0= { }
1={ { } }
usw.

Das heißt das ineinanderpacken von leeren Mengen erzeugt die gesamte Mathematik.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom
Zitat:
Original von BuckligerFips
Zwei Mengen A und B mit jeweils 1 Apfel drin. Damit sind die Mengen exakt gleich. Wenn ich diese Mengen A und B in eine neue Menge C packe also C={A,B} wird dies ja automatisch zu C={A} dank der Gleichheit von A und B. Und damit existierte die gesamte Zeit nur ein einziger Apfel. Obwohl ich am Anfang scheinbar mit zwei Äpfeln hantiert habe.


Da läufst du genau in die Problematik, die ich oben ansprach.
Wenn du wirklich von zwei einzelnen Äpfeln sprichst, so sind A und B halt eben nicht gleich, denn beide enthalten zwar einen Apfel, aber nicht den "gleichen". Einfach nur von "Apfel" zu sprechen legt das Element nicht eindeutig fest.

Ich könnte genauso gut A = {1} und B = {2} machen und dann sagen: Beide Mengen enthalten eine Zahl, also sind sie gleich. Verstehste? Augenzwinkern Und genau das ist das Problem. Mengen fassen völlig allgemeine Objekte als Elemente und es ein universelles Konzept von "Gleichheit" kennen wir eben nicht.


air
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Relation im Axiom
@ollie3:

Mit Scheinrelation habe ich gemeint das beim allerersten Aufstellen eines Axiom der Begriff der Relation ja noch gar nicht existieren kann.

Also verwende ich zwar in Axiomen die Gleichheit aber nur rein "intuitiv" denn die Relation Gleichheit existiert ja noch gar nicht, sondern nur das "alltagstaugliche" Verständnis von "Gleichheit".

Das heißt nicht das das was ich schreibe korrekt ist aber die Frage ist eben woher kommen die Relationen im Axiom wenn ich ja gar nichts am Anfang zur Verfügung habe.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation im Axiom
hallo buckelfips,
verstehe jetzt schon etwas besser, wie du das meinst, werde mal darüber
nachdenken, melde mich morgen wieder.
Tschüß, dein ollie3
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Apfel
@Air:

ich wußte das du genau das schreiben würdest ;-)

Aber ich hab mir schon die Antwort überlegt.

A={Apfel} B={Apfel}

Da strenggenommen "Apfel" als Symbol gilt ist die Gleichheit gegeben. Apfel ist damit eine Element in A und B. Aber könnte gleichzeitig (in sich) wieder eine Menge sein.

Der Hintergedanke war folgender: In dem Moment wo ich den Namen "Bratwurst" vergebe gilt dies für genau eine Bratwurst und alle exakten Kopien (die aber interessanterweise in der Mengenwelt eigentlich nicht parallel existieren könnten!) da Sie ja alle wieder zu einer Bratwurst werden.
Was mich zu dem Gedanken gebracht hat das die Aussage: Bratwurst = Bratwurst zwar "suggeriert" da würden jetzt zwei gleiche Bratwürste irgendwo existieren, es gab aber immer nur die eine.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Sachverhalt ist, im Gegensatz zu den Ausgangsfragen, eigentlich einfach:

Entweder, es gilt für dich "Apfel=Apfel", egal ob es wirklich der selbe ist, dann ist auch C = {A,B} = {A} kein Problem, denn es gibt ja sowieso nur einen einzigen Apfel. Oder aber, du unterscheidest zwischen den Äpfeln, dann wäre {A,B} = {A} ein Problem, aber da dann A=B nicht gilt, kommt es gar nicht so weit.

Was du nicht machen darfst, ist erst zu sagen, dass A=B gilt, dich dann aber beschweren, dass ein Apfel verloren gegangen ist (jetzt also plötzlich zu unterscheiden). Du musst du dich schon festlegen. Augenzwinkern
Bei Bratwürsten ist es das selbe. Wenn ich zwei Bratwürste vor mir liegen habe, muss ich mich entscheiden, ob ich sie bereits als gleich erachte, weil sie "Bratwurst" heißen, oder ob ich sie unterscheide, da sie physisch nicht das selbe Objekt sind.

Wir haben die ursprünglichen Fragen nun aber weit verlassen, was schade ist, da sie imho doch deutlich interessanter sind.

/edit: Kleines Gedankenspiel ... wenn ich zwei Zehner vor dich lege und sage, du darfst das ganze Geld nehmen, würdest du dann nur einen nehmen, weil es ja schließlich nur einen einzigen Zehner auf der ganzen Erde gibt? Augenzwinkern

air
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Relation im Axiom
Zur Relation im Axiom habe ich folgendes in einem Skript gefunden:

"Bestimmte Objekte und Relationen müssen ”aus dem Nichts“ definiert werden. Erst wenn einige grundlegende Begriffe zur Verfügung stehen,
kann die Definition anderer Objekte auf die bekannte Weise erfolgen.
Wie aber erfolgt eine Definition ”aus dem Nichts“, also ohne Zurüuckführung des
zu definierenden Begriffs auf andere, bereits bekannte Begriffe? Das geschieht,
indem Eigenschaften postuliert (gefordert) werden, denen die auf diese Weise zu
bestimmenden Objekte genügen sollen. Konkret bedeutet dies, daß die grundlegenden Begriffe durch die Axiome festgelegt werden. Sie werden also axiomatisch definiert, was aber keiner Definition im gewöhnlichen Sinne entspricht. Die so eingefuhrten Begriffe heißen daher nichtdefinierte Begriffe oder Grundbegriffe."


Ich verstehe das folgendendermaßen: Zwei Grundbegriffe werden in einem Axiom miteinander verkettet. Diese Verkettung ist dann die postulierte Eigenschaft der Gleichheit, die aber zu diesem Zeitpunkt noch nichts mit dem "echten" Relationsbegriff der Gleichheit zu tun hat weil dieser ja erst später eingeführt wird.

Man steht bei Axiomen also begrifflich nackt da und muss die Eigenschaft Gleichheit einfach fordern, sonst ginge es ja nicht voran.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war ja aber auch nicht das Problem. Im erwähnten Axiom wird aber auch über "gleiche Elemente" gesprochen, und über die Gleichheit von Elementen haben wir kein Axiom. Genau davon spreche ich ja aber die ganze Zeit. Mit der Gleichheit von zwei Mengen haben wir ja kein Problem gehabt, oder? Augenzwinkern

air
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Relation
Der Unterschied zwischen Axiom und Definition verschwimmt in der normalen Mathematik deshalb gelegentlich, weil man dort (zum Glück) keinen vollständigen Formalismus betreibt. Wenn man Mathematik vollständig formal, d. h. als Kalkül betreibt, ist der Unterschied ganz klar.

Ein Kalkül besteht aus einer endlichen Menge von Symbolen. Dann beginnt man mit einer Anzahl von Symbolketten, die man als hergestellt betrachtet, und einer Anzahl von Umformungsformeln, nach denen man aus schon hergestellten Symolketten neue Symbolketten bilden kann. Beides zusammen sind die Axiome des Kalküls. Jede mittels der Umformungsregeln neu hergestellte Symbolkette ist ein Satz des Kalküls. Definitionen sind zusätzliche Symbole, die man als Abkürzungen für bestimmte Symbolketten verwendet. Sie machen den Kalkül oft leichter lesbar, sind aber im Prinzip entbehrlich. Man kann in einer Symbolkette, die auch Definitionssymbole enthält, diese jederzeit eliminieren, in dem man sie durch die Symbolketten ersetzt, für die sie abkürzend stehen sollen.

Wenn man dieses Schema im Hinterkopf hat, ist es auch in der normalen Mathematik leichter, Axiome und Definitionen zu unterscheiden. Eine Definition führt einen zusätzlichen Begriff ein, der aber jederzeit wieder ersetzbar ist. Wenn man definiert, eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die durch 2 teilbar ist, kann man in dem Text, wenn man möchte, überall den Begriff 'gerade Zahl' durch 'ganze Zahl, die durch 2 teilbar ist' ersetzen. Wenn diese Ersetzbarkeit nicht gegeben ist, hat man keine Definition vorliegen. Bei dem Anfangsbeispiel

Zitat:
"Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben."


ist diese Ersetzbarkeit nicht gegeben. In einer Kalkülsprache würde man deutlicher sehen, dass hier kein zusätzliches Symbol eingeführt wird, welches als Abkürzung für eine bestimmte Symbolkette dienen soll.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom und Relation
@Huggy:

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Hab ich das dann richtig verstanden das im Prinzip alle durch Definitionen neu eingeführten Begriffe in der Mathematik weggelassen werden könnten und sich trotzdem nichts am Gebäude der Mathematik ändern würde? Außer das die Mathematischen Ausdrücke dann extrem schwer lesbar wären da man nur mit den Grundbegriffen "hantieren" dürfte?

Habe noch eine Frage zum Axiom an dich. Wenn in einem Axiom zwei (undefinierte) Grundbegriffe miteinander verbunden werden, wie würdest du diese Verbindung oder Verkettung mathematisch sauber beschreiben? Denn der mathematische Begriff der Relation steht mir ja in einem Axiom nicht zur Verfügung. Der wird ja erst formal erst viel weiter hinten eingeführt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Relation
Zitat:
Original von BuckligerFips
@Huggy:

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Hab ich das dann richtig verstanden das im Prinzip alle durch Definitionen neu eingeführten Begriffe in der Mathematik weggelassen werden könnten und sich trotzdem nichts am Gebäude der Mathematik ändern würde? Außer das die Mathematischen Ausdrücke dann extrem schwer lesbar wären da man nur mit den Grundbegriffen "hantieren" dürfte?

Exakt so ist es!

Zitat:
Habe noch eine Frage zum Axiom an dich. Wenn in einem Axiom zwei (undefinierte) Grundbegriffe miteinander verbunden werden, wie würdest du diese Verbindung oder Verkettung mathematisch sauber beschreiben? Denn der mathematische Begriff der Relation steht mir ja in einem Axiom nicht zur Verfügung. Der wird ja erst formal erst viel weiter hinten eingeführt.

Das ist eine sehr berechtigte Frage. Tatsächlich ist eine Relation ein definierter Begriff, der sich auf Grundbegriffe eines Kalküls gründet, also im Prinzip eliminierbar und entbehrlich ist. Zu den Grundbegriffen zählen die Prädikate. Im Rahmen von ZFC hat man als elementare Prädikate "=" und "" zur Verfügung. Und auf diese Prädikate kann man die Relation per Definition zurückführen.


In dem Buch

Dirk W. Hoffmann
Grenzen der Mathematik

wird das auf Seite 163 explizit durchgeführt. Dieses Werk kann ich jedem, der sich für Grundlagenfragen der Mathematik interessiert, nur empfehlen. Es ist das Beste, was ich auf diesem Gebiet kenne.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom und Relation
In Axiomen werden (undefinierte) Grundbegriffe miteinander verknüpft und erhalten erst durch die Verknüpfung ihre Bedeutung.

Nachdem ich noch mal ein bißchen Literatur gewälzt habe glaube ich das sogar die Verknüpfung selber (z.B. "=") bereits einen Grundbegriff im Axiom darstellt. Das also ein "=" das in einem Axiom verwendet wird auch ein undefinierter Grundbegriff ist.

Das bringt mich zu der Folgerung das die Relation "=" die in einem Axiom verwendet wird, NICHT die normale (formal ja erst viel später eingeführte) Relation "=" sein kann. Nur optisch sehen Sie leider gleich aus und dadurch entsteht die Verwirrung.

Ist dies so korrekt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Relation
Zitat:
Original von BuckligerFips
Das bringt mich zu der Folgerung das die Relation "=" die in einem Axiom verwendet wird, NICHT die normale (formal ja erst viel später eingeführte) Relation "=" sein kann. Nur optisch sehen Sie leider gleich aus und dadurch entsteht die Verwirrung.

Ist dies so korrekt?

Man könnte das so sehen. Wenn man aber mit einer Axiomatik beginnt, die Gleichheit schon als 2-stelliges Prädikat enthält - und das ist in fast jeder Axiomatik so - verzichtet man jedoch üblicherweise darauf, eine weitere Form von Gleichheit in Form einer Paarmenge zu definieren.

Ich würde daher auch eher die prädikatenlogische Gleichheit als die normale Gleichheit bezeichnen.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Prädikatenlogik
@Huggy

Habe mal in das Buch von Hoffmann hineingeschaut und auf Seite 119 gefunden das sich die Gleichheit nicht in der Prädikatenlogik erster Stufe definieren lässt sondern nur über die Prädikatenlogik zweiter Stufe.

Und wenn ich ihn hier richtig verstehe prüft man dann bei zwei Elementen alle Möglichen Arten ihrer "Unterschiedlichkeit" und wenn keine Unterschiedlichkeit zutrifft müssen die Elemente der Gleichheit genügen.

Ein interessanter Ansatz, die Gleichheit dadurch zu definieren das man erst alle Unterschiedlichkeiten abprüft und wenn keine zu finden ist dann bleibt nur die Gleichheit übrig. Also eine Art indirekte Gleichheitsprüfung.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prädikatenlogik
Die Ordnungsrelation unterscheidet zwischen kleiner gleich usw...
Aber innerhalb einer Menge.

Die Äquivalenzrelation unterteilt die Elemente nach gleichen Äquivalenz eigenschaften
Primzahlen z.B, usw..


edit: Vollzitat entfernt.
LG sulo
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom und Gleichheit
@Cacul:

Es ging um den Begriff der Gleichheit wie er in einem Axiom vorkommt. Da sind die üblichen Ordnungsrelationen usw. ja noch nicht vorhanden können also auch nicht zur Erklärung herangezogen werden.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom und Gleichheit
Relationen sind doch alle gleichmöglich, da gibts kein vor einem axiom oder nach
Gleichheitszeichen ist ja keine Operation, sondern Relation.
Und ein Axiom macht ja auch keine Operation damit.

Kannst also jede Relation benutzen, das es ja an der Menge nichts verändert.
BuckligerFips Auf diesen Beitrag antworten »
Axiom
Da Axiome den Beginn der Mathematik darstellen ist ein Bezug auf eine "Relation" (aber auch jeden anderen Begriff) schwerlich möglich. Dazu müsste der Begriff "Relation" ja VOR den Axiomen definiert werden. Du kannst mir gerne erklären wie das gehen soll? ;-)

Das wäre dann eine mathematischer Münchhausentrick.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prädikatenlogik
Zitat:
Original von BuckligerFips
Habe mal in das Buch von Hoffmann hineingeschaut und auf Seite 119 gefunden das sich die Gleichheit nicht in der Prädikatenlogik erster Stufe definieren lässt sondern nur über die Prädikatenlogik zweiter Stufe.

Das ist richtig. Und deshalb muss in der Prädikatenlogik erster Stufe Gleichheit axiomatisch eingeführt werden, da es per Definition nicht geht.. Man spricht dann von Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, siehe Hoffmann Seite 111 ff.

Praktisch alle mathematischen Theorien benutzen die Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit als logisches Gerüst. Das gilt auch und insbesondere für ZFC, siehe Hoffmann, Seite 147 ff.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom
Zitat:
Original von BuckligerFips
Da Axiome den Beginn der Mathematik darstellen ist ein Bezug auf eine "Relation" (aber auch jeden anderen Begriff) schwerlich möglich. Dazu müsste der Begriff "Relation" ja VOR den Axiomen definiert werden. Du kannst mir gerne erklären wie das gehen soll? ;-)

Das wäre dann eine mathematischer Münchhausentrick.




Axiome sind Aussagen die sofort einleuchten und deshalb keinen Beweis brauchen
Also sprich Elemente sind entweder gleich oder verschieden...
Relationen sind genauso Axiome.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom
Zitat:
Original von Cacul
Axiome sind Aussagen die sofort einleuchten und deshalb keinen Beweis brauchen


Nein, das ist kompletter Unfug. Hast du den Thread, insbesondere die Beiträge von Huggy, überhaupt gelesen verwirrt

air
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Axiom
Zitat:
Original von Airblader

Nein, das ist kompletter Unfug. Hast du den Thread, insbesondere die Beiträge von Huggy, überhaupt gelesen verwirrt

air



Was Huggy in dem Buch "Grenzen der Mathematik" gelesen hat meinst du?
Das ist wieder mal Formalisten heulerei über ihre eigenen Grenzen
und ihrer Philosphie.
Die kann man getrost ignorieren, völlig egal wie Sie Axiome ausführen/einführen..

Cantors Mengen aller Teilmengen sind Relationen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Axiome sind trotzdem keine Aussagen, die "sofort einleuchten". Das Auswahlaxiom bzw. der dazu äquivalente Wohlordnungssatz sind m. E. sogar höchstgradig nicht-trivial. Außerdem brauchen Axiome nicht wegen ihrer Einfachheit (die nicht gegeben ist) keinen Beweis, sondern weil es Aussagen sind, die man postuliert.

Wenn Formalismus für dich Heulerei ist, deine Sache. Aber bitte halte dich zurück, diesen Blödsinn hier an andere weiterzugeben. Wir wollen hier Mathematik lehren und hier wurde explizit nach Grundlagen gefragt.

air
wolfram_US Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist ein bisschen schwierig und ich glaube das ist auch sowas, was man mit
Metamathematik bezeichnet?

Offtopic: Hi Airblader smile Bin auch aus der Uni-stuttgart smile Sag mal, machst du eigentlich
dann den Master später?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wolfram_US
Ja das ist ein bisschen schwierig und ich glaube das ist auch sowas, was man mit
Metamathematik bezeichnet?


Es geht hier zwar um Grundlagen, aber die Frage "Was ist ein Axiom?", die Cacul hier völlig falsch beantwortet, hat mit Metamathematik in meinen Augen nicht viel zu tun. Wenn das Auswahlaxiom so trivial wäre, wie er es machen möchte, dann dürfte es auch kein Problem sein, tatsächlich in jedem konkreten Fall eine Auswahlfunktion anzugeben. Blöderweise ist das bis heute nicht der Fall, so 'trivial' kann es also nicht sein.

Zum OT: Kenne ich dich denn auch? Zwecks Master bin ich mir noch nicht sicher. Schreibe diesbezüglich aber vielleicht lieber in den SmallTalk-Thread im OT-Forum, oder schreib eine eMail, aber nicht hier. Augenzwinkern

air
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Axiome sind trotzdem keine Aussagen, die "sofort einleuchten". Das Auswahlaxiom bzw. der dazu äquivalente Wohlordnungssatz sind m. E. sogar höchstgradig nicht-trivial. Außerdem brauchen Axiome nicht wegen ihrer Einfachheit (die nicht gegeben ist) keinen Beweis, sondern weil es Aussagen sind, die man postuliert.


Ok sofort einleuchtend war vielleicht übertrieben.
Es postuliert nur keiner Unsinn als Axiome, sondern Sachen die einleuchten!
Deshalb hält jeder seine Axiome so einfach wie möglich.

Zitat:
Original von Airblader

Wenn Formalismus für dich Heulerei ist, deine Sache. Aber bitte halte dich zurück, diesen Blödsinn hier an andere weiterzugeben. Wir wollen hier Mathematik lehren und hier wurde explizit nach Grundlagen gefragt.
air


Ja wo is die begründete Antwort? Ich sehe nur Meinungen, und die muss nicht jeder
gut finden :=)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cacul
Es postuliert nur keiner Unsinn als Axiome, sondern Sachen die einleuchten!


Bei Axiomen kann man nichtmal nach Richtigkeit fragen, da es ja gerade postulierte Aussagen sind, die sich aus dem System nicht ableiten lassen. Wie kompliziert sie sind spielt überhaupt keine Rolle.
Im Gegensatz zu dem was du schreibst ist die "formalistische Heulerei" aber wenigstens richtig. Abgesehen davon hat BuckligerFlips ganz gezielt nach diesen Details gefragt, also bekommt er sie auch.

Und das mit dem "Einleuchten" ist so eine Sache, für die das Auswahlaxiom wieder ein gutes (Gegen-)Beispiel ist. Es gibt durchaus Mathematiker, die das Auswahlaxiom ablehnen. Es kommt sogar noch besser: Es wurde nicht nur bewiesen, dass ZFC mit dem Auswahlaxiom widerspruchsfrei ist, sondern dass es sogar dann widerspruchsfrei ist, wenn man das genaue Gegenteil postuliert. Aber damit nicht genug: Das Auswahlaxiom führt zum Beispiel auch zum Banach-Tarski-Paradoxon, das nicht umsonst "Paradoxon" heißt. Es ist alles andere als "einleuchtend".

Zitat:
Ich sehe nur Meinungen, und die muss nicht jeder gut finden


Nein, musst du nicht. Wir möchten hier trotzdem bitte die gängige Meinung lehren und nicht deine. Und was du zu Axiomen geschrieben hast war in diesem Sinne schlicht und ergreifend (doppelt) falsch. Genau genommen ist fast alles, was ich bisher von dir gelesen habe, entweder wirres Zeug oder falsch (siehe auch hier). Ich weiß ja nicht, ob du davon überzeugt bist, dass das, was du schreibst, richtig ist, aber wenn du dir nicht sicher bist, dann schreibe das wenigstens dazu.

air
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader

Bei Axiomen kann man nichtmal nach Richtigkeit fragen, da es ja gerade postulierte Aussagen sind, die sich aus dem System nicht ableiten lassen.



Postulieren heißt folgern, stimmst du zu?

Wie kann man etwas folgern ohne das man Unterschiede, Eigenschaften und Gemeinsamkeiten, etc beobachtet?
Wäre alles gleich gebe es auch nichts zu unterscheiden.

Also sind es doch Relationen die wir bemerken und uns zum nachdenken anregen,
so das wir auch etwas folgern können?

Folgern wir aber daraus was, dann ist es doch erstmal etwas logisches, etwas
was verständlicher Weise wahr sein muss.
Andernfalls kommt die Richtigkeit eh raus, irgendwann.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cacul
Postulieren heißt folgern, stimmst du zu?


Nein, ich stimme nicht zu.
http://de.wiktionary.org/wiki/postulieren

air
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