Grenzwert finden

30.09.2011, 16:52

misaki

Grenzwert finden

Hallo!

Ich soll den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$
bestimmen, wobei x > 0 ist. (Ich weiß grad gar nicht die Zahlemenge, aber ich tippe auf R).

Aufgrund einer Menge Googlerei und weil ich weiß, dass die Exponentialreihe, also die Summe dieser Folge konvergiert, weiß ich auch, dass der Grenzwert 0 sein muss. Den kann ich aber auch bestimmt anders finden, als über die Exponentialreihe zu argumentieren, oder?

30.09.2011, 17:38

Verkasematucker

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RE: Grenzwert finden
Wie sicher bist Du Dir bei der Richtigkeit der Aufgabenstellung?

Jedenfalls gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{n!}=\infty \text{ für alle }n\geq 1. \end{eqnarray*}$

30.09.2011, 19:10

misaki

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RE: Grenzwert finden
Ehrlich jetzt? Aber wenn dieser Grenzwert unendlich ist folgt doch daraus, dass die Exponentialreihe, also die Summe dieser Folge, nicht konvergiert. Diese ist aber absolut konvergent, das kann ich mit dem Quotientenkriterium zeigen, woraus doch folgt, dass die Folge gegen 0 konvergieren muss!

Also die genau Aufgabenstellung ist sehr kurz gehalten und lautet so:
Bestimmen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{c^{n}}{n!} (c > 0) \end{eqnarray*}$ .
Für n habe ich keine Angabe aber ich schätze dass es >= 0 ist, 0 ist ja aufgrund der Fakultät auch möglich.

Ein bisschen skeptisch bin ich nur noch aufgrund der Zahlenmenge, aus der c kommt. Denn für den Beweis, dass die Exponentialreihe absolut konvergent ist, nehme ich an, dass c aus C ist. Würde das einen Unterschied machen wenn c aus R ist? Eigentlich doch nicht, oder?

30.09.2011, 20:33

René Gruber

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Nun ja, jetzt hast du ja $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geschrieben statt wie oben $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ . Was einen erheblichen Unterschied im Grenzwert ausmacht, denn es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{n!} = \infty \quad\text{für alle}\;n\geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \quad\text{für alle}\;x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Also achte genau auf das, was du schreibst!

30.09.2011, 20:47

misaki

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Oh stimmt, ist mir gar nicht aufgefallen, danke. Das war wohl vermutlich weils im Formeleditor mit x voreingestellt ist geschockt

Nun gut, also der Grenzwert ist 0, wie ich ja bereits wusste. Nur würde ich gerne anders als mit der Konvergenz der Exponentialreihe argumentieren. Ist das sehr schwierig?

30.09.2011, 23:01

Kimi_R

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Hier bietet sich der Satz von L'Hospital an

30.09.2011, 23:11

ThomasFF

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Zitat:

Original von Kimi_R
Hier bietet sich der Satz von L'Hospital an

Also an $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} x! \end{eqnarray*}$ hat man keinen Spaß.

30.09.2011, 23:14

Kimi_R

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Zitat:

Original von ThomasFF

Zitat:

Original von Kimi_R
Hier bietet sich der Satz von L'Hospital an

Also an $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} x! \end{eqnarray*}$ hat man keinen Spaß.

Ok, da könntest du recht haben Big Laugh

01.10.2011, 00:05

Wetal

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vielleicht kannst du es geschickt abschätzen. definiere man z.b. für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ den abgerundeten wert von $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . damit lässt sich für großes n eine abschätzung der art finden:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!} \leq c \cdot \left(\frac{x}{x_0+1}\right)^n \end{eqnarray*}$

hier ist c eine geeignete konstante.

05.10.2011, 22:39

Verkasematucker

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Ja, das lässt sich trefflich abschätzen. Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac xk \end{eqnarray*}$

und beachte, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fest ist und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wächst.

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