Basiswechsel mit Skalarprodukt |
30.09.2011, 20:12 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Basiswechsel mit Skalarprodukt Folgendes ist gegeben: V ein reeller Vektorraum mit Basen S und T, . Gelte Das Skalarprodukt werde bzgl. der Basis S durch die Matrix beschrieben.Dann gilt Setze und , dann gilt Also mit dem was ich mir bisher gemerkt (leider nicht verstanden) habe, müsste D die Basiswechselmatrix von T nach S sein. Das heißt, bei C "kommen Koordinatenvektoren zur Basis S an" und offensichtlich "kommen Koordinatenvektoren zur Basis T raus", die dann wieder von "aufgenommen" werden... Mal etwas Leichenhaft ausgedrückt. Woher weiß ich denn, dass C in den V zur Basis T abbildet? Grüße, m. |
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05.10.2011, 00:30 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann mir niemand helfen? |
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05.10.2011, 06:58 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo martha, habe über diese sache nachgedacht. Ich glaube dein problem ist. die gleichung beschreibt nicht, wie sich die vektoren bei dem basiswechsel "verhalten", sondern wie das skalarprodukt selbst bezüglich der neuen basis wirkt. |
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05.10.2011, 10:17 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unter einem Skalarprodukt versteht man allgemein den Audruck , wobei die Koordinatenvektoren sind und eine symmetrische Matrix darstellt, die man als Metrik bezeichnet. wird je nach Anwendung willkürlich festgelegt und bestimmt die Längen- und Winkelmessung im Raum. (Im euklidischen Raum ist G einfach die Einheitsmatrix und kann bei Verwendung der Standardbasis "weggelassen" werden.) Führt man eine Basistransformation mit der Transformationsmatrix durch, so transformieren sich die Koordinatenvektoren bekanntlich mit der kontragredienten Matrix . Demnach lauten die transformierten Koordinatenvektoren . Umgestellt heißt dies Setzt man dies in das Skalarprodukt ein, erhält man dieses Skalarprodukt bezüglichder neuen Koordinaten Wir bringen die Matrix vom ersten in den zweiten Faktor, was ergibt Wir kommen zu dem Schluss: Bei einer Basistransformation mit der Transformationsmatrix transformiert sich die Metrik gemäß . |
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