Grenzwertfrage

29.12.2006, 22:48

MrMilk

Grenzwertfrage

Einen guten Abend,

ich hätte eine Frage an euch zu Abschätzungen bzw. Grenzwerten.
Angenommen ich möchte von Folgender Funktion Den Grenzwert abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { ( {(n+1)}/{n{}} )^{2*n-1} } \end{eqnarray*}$

kann ich dieses wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { ( {(n+1)}/{n{}})^{2*n} } - \lim_{n \to \infty} { ( {(n+1)}/{n{}}) } \end{eqnarray*}$

Und weiter umformen...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { ( {(n+1)^{2*n}}/{n^{2*n}})} - \lim_{n \to \infty} { ( {(n+1)}/{n{}}) } \end{eqnarray*}$

Was mich im Augenblick ein wenig stört, ist dass der erste Term gar keine Grenzwert hat, weil $\begin{eqnarray*} n+1 > n \end{eqnarray*}$ und aus diesem Grund der Zähler immer Höher als der Nenner ist...

Liege ich da richtig?

MrMilk smile

Entschuldigung, hatte die Klammern vergessen. War in dem Augenblick so begeistert, dass ich in LaTeX etwas geschreiben hab, das der Inhalt vernächlässigt wurde.

29.12.2006, 22:50

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du in deiner Klammer jetzt eigentlich

$\begin{eqnarray*} n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Das wären jedenfalls zwei verschiedene paar Stiefel.

29.12.2006, 22:55

rain

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Meinst du in deiner Klammer jetzt eigentlich

$\begin{eqnarray*} n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Das wären jedenfalls zwei verschiedene paar Stiefel.

Er meint das zweite, hat er ja auch so geschrieben.
Die erste Variante würde ja auch keinen Grenzwert liefern.

29.12.2006, 22:56

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

@rain: er hats nachträglich verbessert, siehe seinen edit.

edit: zum grenzwert an sich: auseinander ziehen würde ich bleiben lassen, mach folgendes:
schreibe den inhalt der klammer als 1+1/n, teile dann den exponenten auf (potenzgesetze).
du erhälst eine folge, die gegen etwas bekanntes konvergiert (quadratisch) und eine, die gegen 1 konvergiert.
mfG 20

29.12.2006, 22:58

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo rain,

kannst du mir verraten, wie du gesehen hast, dass nur die zweite Variante einen Grenzwert hat?

MrMilk smile

Hab es nun auch verstanden smile

- Danke für die schnelle Hilfe :-)

29.12.2006, 23:09

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Er meint das zweite, hat er ja auch so geschrieben.
Die erste Variante würde ja auch keinen Grenzwert liefern.

Das ist nicht richtig.

Diese Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert.

29.12.2006, 23:12

Auf diesen Beitrag antworten »

@brainman

Du hast einen Gedankenfehler. Aus welcher Menge ist denn n?

29.12.2006, 23:16

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von n!
@brainman
Du hast einen Gedankenfehler.

Stimmt, hast recht...

29.12.2006, 23:21

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge hat nun eine Grenzwert bei 1, korrekt?

MrMilk

29.12.2006, 23:26

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

du erhälst eine folge, die gegen etwas bekanntes konvergiert (quadratisch) und eine, die gegen 1 konvergiert.
mfG 20

Da stehts doch schon geschrieben.

30.12.2006, 00:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Um 20_Cent noch zu verstärken:

$\begin{eqnarray*} X^{2n-1} = \left( X^n \right)^2 \cdot X^{-1} \end{eqnarray*}$

30.12.2006, 00:17

rain

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (n+\frac{1}{n})^{2n-1} \end{eqnarray*}$

Die Aussage keinen Grenzwert bezog sich auf diese Variante, die am Anfang zur Debatte stand.

@Leopold: Sorry, hab net gesehen dass es vorher unübersichtlich dastand.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertfrage

Verwandte Themen