Umlaufzahlen?

01.10.2011, 10:09	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Umlaufzahlen? Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} f(z)= \frac{z}{\sin z } \end{eqnarray}$ . Die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ sei der geschlossene Polygonzug mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray} -2+i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 9+i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 2-3i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 3+3i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 7-3i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} -2+i \end{eqnarray}$ . Zeichnen Sie diese Kurve in die Skizze ein und berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! f(z) \, dz \end{eqnarray}$ Ansatz: http://s1.directupload.net/file/d/2664/wm4yev4m_jpg.htm Zuvor mussten wir Nullstellen und Singularitäten bestimmt (vgl. Thema zuvor) und ebenfalls einzeichnen. Für den Residuensatz brauche ich nun die Umlaufzahlen der Singularitäten, die diese Kurve umläuft. Wie genau zähle ich da? Ich weiß das bei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ rauskommt. Kann mir da einer helfen?
01.10.2011, 11:34	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
die umlaufzahl ist wie chauchy-integralformel als integral über eine kurve positiv gegen uhrzeigersinn definiert. umkreist die kurve eine singularität im uhrzeigersinn, steigt die umlaufzahl um 1. umläuft die kurve die singularität gegen uhrzeigersinn, fällt die umlaufzahl um 1. was würdest du sagen, wie hier dein polygonzug im bezug auf die singularitäten verläuft?
01.10.2011, 11:52	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich mir jetzt die Singularität $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ angucke, dann ist sie ja von allen fünf Linien des Polygonzugs umgeben. Aber ich glaube, dass ich noch ein Problem mit im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn habe. An einem Kreis ist mir das klar, aber bei Geraden bin ich mir unsicher. Vielleicht so: $\begin{eqnarray} -2+i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 9+i \end{eqnarray}$ : +1 $\begin{eqnarray} 9+i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 2-3i \end{eqnarray}$ : -1 $\begin{eqnarray} 2-3i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 3+3i \end{eqnarray}$ : +1 $\begin{eqnarray} 3+3i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 7-3i \end{eqnarray}$ : +1 $\begin{eqnarray} 7-3i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} -2+i \end{eqnarray}$ -1 Was aber nicht sein kann, da ja -2 rauskommen muss
01.10.2011, 12:14	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
man zählt +1 oder -1, sobald du 1 mal ganz um die Singularität gewandert bist. stell dir z.b. von der singularität aus eine lange senkrechte linie nach unten vor. finde entlang der linie einen schnittpunkt mit der kurve und wandere dann in laufrichtung auf dieser kurve. sobald du wieder diese gedachte linie berührst, hast du die singularität 1 mal umkreist. die frage ist dann ob du im uhrzeigersinn oder gegenuhrzeigersinn gewandert bist.
01.10.2011, 12:24	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, deine Erklärung war richtig gut!! Aber die Umlaufzahlen müssten beide poitiv sein, oder? Weil es im Uhrzeigersinn läuft. Oder wird es negativ, weil es gegen den mathematischen Uhrzeigersinn läuft?
01.10.2011, 12:35	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, sry das war falsch von mir. natürlich steigt sie gegen uhrzeiger sinn und fällt im uhrzeigersinn. darum kommt für die singularität bei pi -2 raus.
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01.10.2011, 12:51	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, Danke! Meinst du, du könntest mir auch noch folgende Fragen zur gleichen Funktion beantworten? Nullstellen & Singularitäten Ordnung / Typ Also einfach, welche Typen von Singularitäten gibt es und wie kriege ich diese raus?

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