Beweisaufgaben zur Norm

01.10.2011, 16:38

gottfried

Beweisaufgaben zur Norm

Hier sind zwei Klausuraufgaben, an denen ich gescheitert bin und um Eure Mithilfe bitten wollte:
1. Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{n} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben und gelte:
$\begin{eqnarray*} | f(x) | \leq || x ||^{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f in $\begin{eqnarray*} 0\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ total differenzierbar ist und geben Sie den Gradienten im Nullpunkt an.

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} || x ||^{2} = \sqrt[2]{ x_{1}^{2}+ ... +x_{n}^{2} }^{2} = | x_{1}^{2} + ... +x_{n}^{2} | = x_{1}^{2} + ... +x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$
Entsprechend der euklidischen Norm ausrechnen. Das Quadrat löst zunächst die Wurzel auf und auf die Betragsschreibweise kann man verzichten, da alle Komponenten größergleich 0 sind.

Nun setze ich auch einfach mal die Null ein, es muss also gelten:
$\begin{eqnarray*} | f(0) | \leq || 0 ||^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
Von der rechten Seite wissen wir, dass sie Null ergibt. Aus der Definition des Betrages (oder so: "die einzige mögliche Zahl im Betrag die kleinergleich 0 ist, ist die 0 selbst") folgt dann:
$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$
f(x) besitzt also keine Konstanten.
Ab hier wirds dann für mich etwas schwierig. Ich hatte es aufgeteilt in (denke aber nicht, dass das sonderlich zielführend ist):
1. Fall: $\begin{eqnarray*} | f(x) | = || x ||^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | f(x) | = x_{1}^{2} + ... +x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$
Finde das Zeichen für den Gradienten nicht, aber für den Gradienten würde dann gelten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x_1 \\ ... \\ 2x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Setzt man für x nun den Nullvektor ein, erhält man für den Gradienten ebenfalls den Nullvektor.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} | f(x) | < || x ||^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | f(x) | < x_{1}^{2} + ... +x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$
Und weiter weiß ich leider nicht verwirrt

2. Aufgabe:
Beweisen Sie die folgende Aussage:
Für alle $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} || v || = sup \left\{x*v: x\in \mathbb R^{n} , ||x|| \leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

Hier bin ich ehrlich gesagt ratlos was überhaupt gemeint ist. Das Supremum der Menge der Skalarprodukte eines beliebigen Vektors v mit einem Vektor x, dessen euklidische Norm kleinergleich 1 sein muss, ist immer gleich der Länge des Vektors v. Uff! Was soll mir das sagen? Ist überhaupt das Skalarprodukt gemeint?
Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} || v || = \sqrt[2]{ v_{1}^{2}+ ... +v_{n}^{2} } \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}> = v_1*x_1 + ... + v_n*x_n \end{eqnarray*}$
Mit der Einschränkung, dass:
$\begin{eqnarray*} || x || = \sqrt[2]{ x_{1}^{2}+ ... +x_{n}^{2} } \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => x_{1}^{2}+ ... +x_{n}^{2} \leq 1 \end{eqnarray*}$
Den maximalen Wert, den ein xi annehmen kann ist nun 1, wenn alle anderen gleich 0 gesetzt werden.
Weiter fällt mir leider nichts ein.

Ich wäre über Eure Hilfe sehr dankbar!

01.10.2011, 17:19

galoisseinbruder

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Ich würde bei der 1. Aufgabe die partiellen Ableitungen berechnen.
Zur b) Ich kenn die Aussage für Skalaprodukt und vom Skalarprodukt erzeugte Norm,
würde hier also passen. Meine Tipps: man kann ein Element angeben, bei dem das Supremum angeben wird (liefert also $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) und für die andere Richtung:
Cauchy-Schwarz.

P.S. Muss denn ||.|| unbedingt die euklidische Norm angeben?

01.10.2011, 17:29

gottfried

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Die partiellen Ableitungen stehen doch prinzipiell schonmal im Gradienten, oder?
Als Funktion betrachtet, setzt $\begin{eqnarray*} || x ||^{2} \end{eqnarray*}$ sich ja aus stetigen und differenzierbaren Komponentenfunktionen zusammen, die partiellen Ableitungen existieren. Aber folgt daraus bereits die totale Differenzierbarkeit in 0?

Zitat:

Muss denn ||.|| unbedingt die euklidische Norm angeben?

Ist das als Frage oder als Tipp gemeint Augenzwinkern

? Wir haben es zumindest in unserer Vorlesung so festgelegt, dass eine Norm ohne "Beschriftung" (in diesem Fall 2-Norm) immer als euklidische Norm ausgelegt wird/werden sollte.

01.10.2011, 17:41

galoisseinbruder

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Um Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung zu zitieren:
f ist total diff´bar, falls die partiellen Ableitungen alle stetig sind. Und die Komponenten
vom Gradienten sind hier die partiellen Ableitungen.

Das P.S. war als Frage gemeint; Ich hab´ Norm ohne Beschriftung als beliebige Norm gelernt.

01.10.2011, 22:32

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Um Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung zu zitieren:
f ist total diff´bar, falls die partiellen Ableitungen alle stetig sind. Und die Komponenten
vom Gradienten sind hier die partiellen Ableitungen.

Die sind aber im allgemeinen nicht stetig.

@gottfried: Wahrscheinlich braucht man nur die Definition, könntest du deine Def. von totaler Diffbarkeit mal angeben?

02.10.2011, 15:40

gottfried

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Ich habe die totale Differenzierbarkeit wie folgt verstanden:
Im R^1 folgt aus Differenzierbarkeit stets Stetigkeit (umgekehrt gilt im Allgemeinen nicht).
Im R^n ist die partielle Differenzierbarkeit sozusagen nur eine "schwache" Art der Differenzierbareit, denn aus ihr folgt nicht direkt/unbedingt die Stetigkeit.
Die totale Differenzierbarkeit dagegen ist eine Form der Differenzierbarkeit, die direkt die Stetigkeit impliziert.

Zumindest für den ersten Fall (die Gleichheit) kann ich doch folgende Aussage treffen:
Die partiellen Ableitungen existieren und sind stetig im Nullpunkt. Folgt daraus nicht auch die totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt?
$\begin{eqnarray*} grad (f(x))= \begin{pmatrix} 2x_1 \\ .. \\ 2x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} grad (f(0))= \begin{pmatrix} 0 \\ .. \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal smile

02.10.2011, 16:25

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von gottfried
Ich habe die totale Differenzierbarkeit wie folgt verstanden:
Im R^1 folgt aus Differenzierbarkeit stets Stetigkeit (umgekehrt gilt im Allgemeinen nicht).
Im R^n ist die partielle Differenzierbarkeit sozusagen nur eine "schwache" Art der Differenzierbareit, denn aus ihr folgt nicht direkt/unbedingt die Stetigkeit.
Die totale Differenzierbarkeit dagegen ist eine Form der Differenzierbarkeit, die direkt die Stetigkeit impliziert.

Das ist zwar richtig, du wirst bei der Aufgabe aber nicht um die genaue Def. herumkommen.

Zitat:

Original von gottfried
Zumindest für den ersten Fall (die Gleichheit) kann ich doch folgende Aussage treffen:
Die partiellen Ableitungen existieren und sind stetig im Nullpunkt. Folgt daraus nicht auch die totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt?
$\begin{eqnarray*} grad (f(x))= \begin{pmatrix} 2x_1 \\ .. \\ 2x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} grad (f(0))= \begin{pmatrix} 0 \\ .. \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, auch da nicht, da du von |f| redest und nicht von f, vergess die Fallunterscheidung aber auch am besten, die führt zu nix.

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