Kleinste obere Schranke

01.10.2011, 16:44

toxic33

Kleinste obere Schranke

Meine Frage:
Hallo!

Ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{1+|x|} \end{eqnarray*}$ das Supremum 1 besitzt.

Zunächst habe ich gezeigt, dass 1 eine obere Schranke ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{1+|x|}<1 \Rightarrow |x| < |x| + 1 \end{eqnarray*}$ , was ja für alle Zahlen x aus R stimmt.

Dann muss ich beweisen, dass 1 die kleinste obere Schranke ist. Aber wie gehe ich das jetzt an?

Danke vielmals im Voraus!

Meine Ideen:
Sind oben smile

01.10.2011, 17:09

Gast11022013

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RE: Kleinste obere Schranke
Nimm an, daß so eine kleinere Schranke existiert und führe einen Widerspruch herbei.

01.10.2011, 17:26

toxic33

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Danke für die schnelle Antwort!

Ich nehme also an, dass ein Epsilon existiert, das größer als 0 ist.

Dann ist $\begin{eqnarray*} 1 - \epsilon < \frac {|x|}{1+|x|} \end{eqnarray*}$ .
Durch Umrechnen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \epsilon < \frac{1}{1+|x|} \end{eqnarray*}$

Doch wie führe ich das nun zu einem Widerspruch?

Vielen Dank im Voraus

01.10.2011, 17:48

Gast11022013

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Naja, kurz gesagt:

Du findest immer ein x, sodaß $\begin{eqnarray*} \frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}>s \end{eqnarray*}$ für jedes

$\begin{eqnarray*} 0<s<1 \end{eqnarray*}$ .

Dann kann das aber keine kleinere Schranke sein.

01.10.2011, 17:53

toxic33

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Danke für die schnelle Antwort!

D.h. das ist schon bewiesen?

Kann man nicht irgendwie 1/s oder so einsetzen und versuchen, eine Aussage ähnlich s < s, d.h. einen Widerspruch, zu erreichen?

Vielen Dank im Voraus!

01.10.2011, 17:55

Gast11022013

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Ja, ich bin selbst mit meiner Aussage nicht so ganz zufrieden, denn irgendwie ist das ja kein richtiger Beweis, sondern mehr eine Behauptung, die noch im Raum steht.

Deswegen möchte ich gerne jemand Anders bitten, hier zu übernehmen.

Dir wird sicher sehr schnell von jemand, der es besser weiß, weitergeholfen!

01.10.2011, 18:08

Gast11022013

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Naja, die Ungleichung ist jedenfalls erfüllt für

$\begin{eqnarray*} x-\frac{s}{s-1}<0, x<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x+\frac{s}{s-1}>0, x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich persönlich würde sagen, daß man damit gezeigt hat, daß s keine kleinere untere Schranke sein kann, da man Gegenbeispiele gefunden hat.

01.10.2011, 18:40

Wetal

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wie bereits richtig erkannt, ist zu zeigen, dass zu einem festen epsilon, ein x existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} 1 - \varepsilon < \frac {|x|}{1+|x|} \end{eqnarray*}$ , was äquivalent ist zu:

$\begin{eqnarray*} \varepsilon > 1 - \frac{|x|}{1+|x|} = \frac{1}{1+|x|} \end{eqnarray*}$

das ist auch äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} < 1 + |x| \end{eqnarray*}$

nun ist aber klar, dass ein x existiert, so dass diese ungleichung erfüllt ist, weil links etwas konstantes steht und rechts x nur groß genug sein muss.

01.10.2011, 20:31

toxic33

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Danke für die Antwort!

Bedeutet das jetzt, dass 1 gar nicht das Supremum ist?

Vielen Dank im Voraus!

01.10.2011, 20:32

Wetal

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wie kommst du jetzt darauf?

01.10.2011, 20:56

toxic33

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Ich glaube, ich bin jetzt etwas verwirrt xD

Ich versuch noch mal so zusammenzufassen:

Zunächst habe ich gezeigt, dass 1 eine obere Schranke ist mit |x|/(1+|x|) < 1, was das gleiche ist, wie |x| < |x| + 1, was für alle x aus R gilt.

Danach muss ich zeigen, dass 1 auch das Supremum, also die kleinste obere Schranke gilt. Ich führe nun ein Epsilon ein, das eine beliebige Zahl > 0 ist und sage:

1-Epsilon < |x| / (1+|x|)

was äquivalent ist zu

Epsilon > 1 / (1 + |x|)

(Hier noch ne Verständnisfrage: Warum 1 - Epsilon < |x| / (1+|x|)? Beim Supremum war es doch >

)

Das wollte ich nun zu einem Widerspruch führen, aber du hast ja gesagt, dass es ein x gibt, für das die Ungleichung wahr ist.

Irgendwie bin ich jetzt verwirrt

Danke vielmals für deine Hilfe!

01.10.2011, 21:03

Gast11022013

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Zitat:

Original von toxic33

Hier noch ne Verständnisfrage: Warum 1 - Epsilon < |x| / (1+|x|)? Beim Supremum war es doch >

Du willst doch zeigen, daß $\begin{eqnarray*} s:=1-\varepsilon \end{eqnarray*}$ nicht eine kleinere Schranke ist als 1.

Also musst Du doch $\begin{eqnarray*} \frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}>s \end{eqnarray*}$ zeigen, denn dann ist s keine kleinere untere Schranke.

01.10.2011, 21:28

toxic33

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Danke für die schnelle Antwort!

Ich glaube, das hat meine Verwirrung jetzt etwas gelöst Big Laugh

D.h. ich beweise hier nicht indirekt (also durch Widerspruch) sondern direkt, hab ich das so richtig verstanden?

Danke im Voraus!

01.10.2011, 21:38

Gast11022013

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Ja, Du zeigst doch ganz direkt, daß

$\begin{eqnarray*} 1-\varepsilon<\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert} \end{eqnarray*}$ , egal, wie Du Epsilon auch fest gewählt hast, d.h. daß es keine kleinere untere Schranke als 1 gibt.

Edit: Ich hab Dich mit meiner Idee eines Widerspruchbeweises verwirrt, halte Dich lieber an das, was Wetal aufgeschrieben hat, das ist viel besser und eben direkter.

01.10.2011, 22:39

toxic33

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Ja, die Verwirrung kam auch daher, dass ich am Anfang auch gedacht habe, ich mache einen Widerspruchsbeweis (wurde in der Übung so vorgeschlagen).

Danke vielmals für eure Hilfe!

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