Anzahl natürlicher Lösungen

01.10.2011, 16:58

Grouser

Anzahl natürlicher Lösungen

Bestimmen Sie die Anzahl der natürlichen Lösungen der Gleichungen:

a) $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7, \ x_i \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen: $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7 \Leftrightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 11 \ y_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und dazu sagt mir der Satz über die Anzahl geordneter Zahlenpartitionen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 18, \ x_i \in \{ 0, 1, \cdots , 7 \} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen: Ähnlich wie vorhin könnte ich den Zahlenbereich ebenfalls wieder verschieben, jedoch fällt mir spontan nicht ein wie ich zusätzliche Einschränkung $\begin{eqnarray*} x_i \leq 7 \end{eqnarray*}$ unterbringen soll, die natürlich eine echte Einschräkung ist. Eine umständliche Idee wäre es alle Kombinationen auszurechnen und dann diejenigen wieder abzuziehen, die die Einschränkung verletzen. Geht es vielleicht einfacher?

01.10.2011, 17:03

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grouser
Eine umständliche Idee wäre es alle Kombinationen auszurechnen und dann diejenigen wieder abzuziehen, die die Einschränkung verletzen.

Ist so umständlich nicht - Stichwort: Siebformel

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{N}_0^4 \bigm| x_1+x_2+x_3+x_4 = 18 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_k = \left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4)\in \Omega \bigm| x_k\geq 8 \right\} \end{eqnarray*}$

01.10.2011, 17:33

Grouser

Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank, die hatte ich für einen Moment fast vergessen Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Anzahl natürlicher Lösungen

Verwandte Themen