axiome von kolmogorov

01.10.2011, 17:33

analysisisthedevil

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axiome von kolmogorov

Aufgabe 6:
Gegeben ist eine Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ \Omega, A, B, C)\right\} \end{eqnarray*}$ von Ereignissen, wobei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ das sichere Ereignis ist und sich die Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen müssen. Es gilt: $\begin{eqnarray*} \Omega=A\cup B\cup C \end{eqnarray*}$ Wel-che der folgenden Aussagen widersprechen den Axiomen von Kolmogorov (x aus 5)?
Für falsch markierte Aussagen wird Ihnen die gleiche Punktezahl abgezogen, die Sie für eine richtige Antwort erhalten. Minimal mögliche Punkteanzahl dieser Aufgabe: 0 Punkte.
A) $\begin{eqnarray*} P(A) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 2/3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(C) = 5/8. \end{eqnarray*}$
B) $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = 1/2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(C).= 1/2 \end{eqnarray*}$ .
C) $\begin{eqnarray*} P(A) = 1/2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) = 1/2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(C).= 1/2 \end{eqnarray*}$ .
D) $\begin{eqnarray*} P(A) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(C).= 1/4 \end{eqnarray*}$ .
E) Keine der Aussagen A-D widerspricht den Axiomen von Kolmogorov.

Kann mir jemand sagen warum ausgerechnet A und D angekreutzt werden müssen?danke

01.10.2011, 18:09

galoisseinbruder

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Leite mal aus den Axiomen diese beiden Aussagen ab:
Ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ sogilt $\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(B) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \leq P(A) +P(B) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ .
Das sollte Dir jeweils Widersprüche liefern.

01.10.2011, 18:09

Math1986

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RE: axiome von kolmogorov

Zitat:

Original von analysisisthedevil
Kann mir jemand sagen warum ausgerechnet A und D angekreutzt werden müssen?danke

Wie lauten die Axiome von Kolmogorow?

Eigene Ideen wirst du ja schon haben

01.10.2011, 18:17

analysisisthedevil

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RE: axiome von kolmogorov

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von analysisisthedevil
Kann mir jemand sagen warum ausgerechnet A und D angekreutzt werden müssen?danke

Wie lauten die Axiome von Kolmogorow?

Eigene Ideen wirst du ja schon haben

$\begin{eqnarray*} P(A)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap B=\left\{ \right\} \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Aber so rein nach dem Gefühl wäre meiner Meinung nach alles Falsch....müsste es nicht P(A)=P(B)=P(C)=1/3 sein??

01.10.2011, 18:26

galoisseinbruder

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Wenns keinen Einspruch von Math1986 gibt mach ich weiter:
zu Deinem Gefühl: Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega =A=B=C \end{eqnarray*}$ möglich; Es steht explizit da, dass die Mengen nicht disjunkt sein müssen.

01.10.2011, 18:28

analysisisthedevil

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aber dann is es doch eiegntlich gar nich wirklich möglich eine aussage zu treffen oder?

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01.10.2011, 18:30

galoisseinbruder

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Lies doch mal meinen ersten Post.

01.10.2011, 18:51

analysisisthedevil

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puh also , so ganz verstanden hab ich es denk nicht...
aber es is dann also so , dass die wahrscheinlichkeit für jedes beliebige ereigniss , auser dem sicheren ereignis immer 0.5 bzw 1/2 beträgt .

Das würde auch gelten wenn es die ereignise {Omega,A,B,C,D......n} und nicht nur {Omega,A,B,C}
geben würde

01.10.2011, 18:55

galoisseinbruder

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Nein.
Wie bereits erwähnt kann z.B $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(C)=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sein.

P.S. Kommst Du aus dem angelsächsischen Raum?

01.10.2011, 19:02

analysisisthedevil

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lol , wegen der Groß - u. Kleinschreibung oder?Halb Engänder bin ich , aber es hat eher mit Tippfaulheit zu tun Big Laugh

Big Laugh

01.10.2011, 19:05

galoisseinbruder

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Nein, wg. dem 0.5 Groß- und Kleinschreibung kann auch ´ne hängende Taste sein.

01.10.2011, 19:07

Gast11022013

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Was genau sind denn jetzt die Brgründungen, dass A und D anzukreuzen sind?

01.10.2011, 19:26

Gast11022013

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Edit:

Hier hatte ich blöderweise schon die Lösung verraten, deswegen habe ich das gelöscht und durch diesen Text ersetzt; dem Fragesteller war die Lösung nämlich wohl noch nicht klar und ich möchte ihm nicht die Chance kaputt machen, das selbst zu lösen.

01.10.2011, 21:24

tzetze33

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Falsch!

01.10.2011, 21:31

Gast11022013

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Bitte?! Einfach falsch und sonst nichts?

Das ist ja mal eine spartanische Antwort...

Dann wüsste ich aber schon auch gerne, was denn falsch ist.

01.10.2011, 22:10

Math1986

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Deine Begründungen sind richtig, auch wenn du dem Themenersteller nun alles verraten hast unglücklich

unglücklich

01.10.2011, 22:12

Gast11022013

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Oh, ich entschuldige mich!!

Ich war der Meinung, daß das schon klar war, weil keine Reaktion mehr kam.

Das tut mir jetzt echt leid.

01.10.2011, 22:17

Math1986

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Dann editiere deinen B eitrag, ich glaube nicht, dass dem Themenersteller die Aufgabe klar ist.

01.10.2011, 22:23

Gast11022013

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Habe ich gemacht und nochmal sorry.
Nächstens passe ich besser auf bei sowas.

Wink

Wink

02.10.2011, 12:22

analysisisthedevil

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Zur Beruhigung , ich hab erst nachdem die Lösung wieder weg war reingeschaut Big Laugh

Big Laugh

Verstehen tu ich es aber immernoch nicht :-(

Der Knackpunkt , der meinen Geist derzeit überfordert ist "Dass sich die Ereignisse gegenseitig nicht ausschließen müssen"

02.10.2011, 13:59

Math1986

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Was überfordert dich daran?

02.10.2011, 20:17

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es nicht richtig "greifen" . Das sichere Ereignis is dass A,B oder C eintritt , das ist P=1 ..die Wahrscheinlichkeit dass genau A eintritt ist demnach P=1/3 bzw. klar, ich weis natürlich dass es nicht so ist , da ich die Lösung habe.
Ich bekomme es einfach nich gecheckt warum es stattdessen P=1/2 ist.

02.10.2011, 20:22

Math1986

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
Ich kann es nicht richtig "greifen" . Das sichere Ereignis is dass A,B oder C eintritt , das ist P=1 ..die Wahrscheinlichkeit dass genau A eintritt ist demnach P=1/3

Wie kommst du darauf? verwirrt

verwirrt

Man nehme $\begin{eqnarray*} A=\Omega,B=C=\emptyset \end{eqnarray*}$ und schon habe ich ein Gegenbeispiel.

Hast du dir über die Hinweise von galoisseinbruder Gedanken gemacht? Wenn nein: Warum nicht?

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Leite mal aus den Axiomen diese beiden Aussagen ab:
Ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ sogilt $\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(B) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \leq P(A) +P(B) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ .
Das sollte Dir jeweils Widersprüche liefern.

02.10.2011, 20:38

analysisisthedevil

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laut Kolmogorow gilt:

$\begin{eqnarray*} A\cap B=\left\{ \right\} \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Dies gilt hier aber nicht , da sich A und B nicht ausschließen
---------> $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A\cup B)\neq P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

02.10.2011, 20:46

Math1986

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
laut Kolmogorow gilt:

$\begin{eqnarray*} A\cap B=\left\{ \right\} \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Dies gilt hier aber nicht , da sich A und B nicht ausschließen
---------> $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A\cup B)\neq P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Auch das ist im Allgemeinen falsch, nämlich für $\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

Hast du dir über die Hinweise von galoisseinbruder Gedanken gemacht? Wenn nein: Warum nicht?

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Leite mal aus den Axiomen diese beiden Aussagen ab:
Ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ sogilt $\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(B) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \leq P(A) +P(B) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ .
Das sollte Dir jeweils Widersprüche liefern.

02.10.2011, 21:39

analysisisthedevil

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Ja,ich habe mir Gedanken gemacht.Die Aussagen erscheinen mir auch logisch , ich kann sie nur nicht für die Aufgabe verwerten traurig

traurig

02.10.2011, 21:41

Gast11022013

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Hallo, ich misch mich mal ein, weil es sich ja echt im Kreise zu drehen scheint.

Nimm doch einfach jetzt mal die erste Aussage her und wende sie auf (A) an, dann kann man es sehr leicht zu einem Widerspruch führen.

02.10.2011, 21:41

Math1986

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Dann schau dir die Aufgabe nochmal ganz genau an:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) = 1/4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 2/3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(C) = 5/8. \end{eqnarray*}$

Siehst du darin irgendeinen Widerspruch zu dem, was galoisseinbruder gesagt hat?

02.10.2011, 21:55

analysisisthedevil

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P(C) muss kleiner oder gleich P(A) sowiie P(B) sein,ist es aber nicht.

und die $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \neq1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dennis2010
Hallo, ich misch mich mal ein, weil es sich ja echt im Kreise zu drehen scheint.

Nimm doch einfach jetzt mal die erste Aussage her und wende sie auf (A) an, dann kann man es sehr leicht zu einem Widerspruch führen.

wenn A teilmenge von B oder gleich B ist , dann muss $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) =P(B) \end{eqnarray*}$ sein

02.10.2011, 22:02

Gast11022013

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Mit C hat das nichts zu tun.

Es gilt $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq B \end{eqnarray*}$ .

Dann müsste gelten....

Jedoch gilt hier...

Edit: Vorausgesetzt, daß A und B nicht disjunkt sind.

02.10.2011, 22:04

analysisisthedevil

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hab meinen Beitrag nochmal editiert , villeicht is das ja jetzt halbwegs brauchbar .....

es muss gelten $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

02.10.2011, 22:07

Gast11022013

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RE: axiome von kolmogorov
Nein, das ist ja kein Widerspruch!

Wenn A, wie Du sagst, Teilmenge von B (oder gleich B) wäre, so wäre doch

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)\leq P(B) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(B)\leq P(B) \end{eqnarray*}$ und das stimmt hier doch.

Ja, das muss gelten, aber das gilt hier ja auch.
Das ist hier nicht das Gegenargument.

Aber wann stimmt es eben nicht?

02.10.2011, 22:31

Gast11022013

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
es muss gelten $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Naja, das kommt dem schon näher!
Nimm' doch mal an, A und B wären nicht disjunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq B \end{eqnarray*}$ , dann müsste doch gelten, daß

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\leq . . . \end{eqnarray*}$ , aber...

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