Beschränktheit und Konvergenz einer Folge

02.10.2011, 12:14

KnowingLizard

Beschränktheit und Konvergenz einer Folge

Also, mir geht es um eine Folge, habe sie hier gleich mal mit der 3. binomischen Formel umgeformt (und dabei hoffentlich keinen Fehler gemacht):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{2n-1}=\frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}} \end{eqnarray*}$

Mit erweitern mit 1/n könnte ich dann jeweils sehen, das für n->unendlich die Folge gegen minus unendlich strebt, oder nicht? Würde sowas als Begründung reichen?
Wichtig ist mir aber vor allem folgende Frage:
Wäre folgende Abschätzung bzgl. der Konvergenz in negativer y-Richtung gemäß der Definition uneigentlicher Konvergenz (d.h. Divergenz) möglich (Achtung, ich habe keine Ahnung von Abschätzungen, bin mir nicht mal beim Begriff "Abschätzung" sicher, daher frage ich):

Die Folge ist dann uneigentlich konvergent (d.h. hat keinen Grenzwert), wenn gilt (hier für minus unendlich): R seien die reellen Zahlen, N die natürlichen
$\begin{eqnarray*} <br /> \forall x \in R \exists n_{0} \in N : a_{n}<x \forall n \ge n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{2n-1}=\frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}}<-n+2<x \forall n>n_{0}=-x+2<br /> \end{eqnarray*}$

Ginge das so als Nachweis in Ordnung, wenn es denn irgend einen Sinn macht?

02.10.2011, 20:20

weisbrot

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RE: Beschränktheit und Konvergenz einer Folge
vom prinzip her wohl richtig, aber deine erste abschaetzung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}}<-n+2 \end{eqnarray*}$

gilt nur solang -n+2 positiv ist, also fuer n<2. das hilft dir natuerlich wenig, du musst also einen anderen weg finden Augenzwinkern

03.10.2011, 08:07

KnowingLizard

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RE: Beschränktheit und Konvergenz einer Folge

Zitat:

Original von weisbrot
vom prinzip her wohl richtig, aber deine erste abschaetzung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}}<-n+2 \end{eqnarray*}$

gilt nur solang -n+2 positiv ist, also fuer n<2. das hilft dir natuerlich wenig, du musst also einen anderen weg finden Augenzwinkern

Hmmm stimmt, schade, wäre auch ein wenig zu einfach gewesen smile

Ich habe ja oben in Worten auch den Weg geschildert, den Bruch mit 1/n zu erweitern, mit einer stückweisen Grenzwertbetrachtung könnte man dann auch sehen, dass der Bruch gegen minus unendlich strebt, wenn n gegen unendlich strebt, aber ich hätte ganz gerne das eben auch "besser" bewiesen, d.h. die uneigentliche Konvergenz besser bewiesen.
Leider hab ich mich an dieses "Abschätzen" oder wie auch immer man das nennt, bisher noch nicht so richtig gewöhnt, habe dabei immer ein recht komisches Gefühl...

Vor lauter Verzweiflung habe ich jetzt mal im Zustand geistiger Umnachtung folgendes aufgeschrieben, macht das irgend einen Sinn?:
EDIT: Hat keinen Sinn ergeben, leider...

03.10.2011, 08:28

KnowingLizard

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Kann leider meinen Beitrag schon wieder nicht mehr bearbeiten, aber nun kam mir folgende Idee (als Fortsetzung zum Beitrag direkt davor betrachten, den davor lesen):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{2n-1}=\frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}}<\frac{-n+2}{n+1+2n-1}=\frac{-n+2}{3n}=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3n}<x \forall n>n_{0}=\frac{2}{3x+1}<br /> \end{eqnarray*}$

Aber ich glaube, ich habe da beim Auflösen nach n bzgl der Orientierung des Kleiner/Größer-Zeichens einen Fehler begangen...

Hätte jemand bitte, bitte einen Tipp, wie ich vorgehen soll?

03.10.2011, 09:02

René Gruber

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Das funktioniert nun gleich gar nicht: Wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{2n-1} \to -\infty \end{eqnarray*}$ nachweisen willst, dann kannst du das doch nicht über eine Abschätzung wie

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}}<\frac{-n+2}{n+1+2n-1} \end{eqnarray*}$

erreichen, wo rechts etwas offensichtlich konvergentes steht! unglücklich

Nimm doch das "Standardverfahren", in Zähler wie Nenner die höchste n-Potenz auszuklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}} = \frac{n}{\sqrt{n}} \cdot \underbrace{\frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}}_{\to -\frac{1}{1+\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 09:17

KnowingLizard

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Zitat:

Original von René Gruber

Nimm doch das "Standardverfahren", in Zähler wie Nenner die höchste n-Potenz auszuklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}} = \frac{n}{\sqrt{n}} \cdot \underbrace{\frac{-1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}}_{\to -\frac{1}{1+\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$

Ja, genau das hatte ich ja geschrieben, dass mir das Verfahren klar ist, wollte halt nur noch einen anderen Weg finden und bin bei der verzweifelten Suche nach einem zweiten Weg wohl ordentlich auf den Holzweg geraten Augenzwinkern

Aber gut, vielen Dank dann mal, dann belass ich es wohl bei der Lösung mit der Ausklammerung der höchsten n-Potenz bzw. der Erweiterung mit der höchsten n-Potenz Augenzwinkern

03.10.2011, 09:38

René Gruber

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Wenn du denn unbedingt eine Ungleichungsabschätzung haben willst, dann muss es bei Wurzeln im Nenner bleiben - etwa so:

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt sowohl $\begin{eqnarray*} n+1 < 4(n-2) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 2n-1 < 4(n-2) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}} < - \frac{n-2}{2\sqrt{n-2}+2\sqrt{n-2}} = -\frac{\sqrt{n-2}}{4} \to -\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ .

03.10.2011, 10:10

KnowingLizard

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Zitat:

Original von René Gruber
Wenn du denn unbedingt eine Ungleichungsabschätzung haben willst, dann muss es bei Wurzeln im Nenner bleiben - etwa so:

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt sowohl $\begin{eqnarray*} n+1 < 4(n-2) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 2n-1 < 4(n-2) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{-n+2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2n-1}} < - \frac{n-2}{2\sqrt{n-2}+2\sqrt{n-2}} = -\frac{\sqrt{n-2}}{4} \to -\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Hmm okay, vielen Dank, aber da hast du insofern Recht, dass ich dann gleich die einfachere Variante ohne Ungleichungsabschätzung wählen kann.

03.10.2011, 10:43

Cacul

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{2n-1}\le ( n^2-1)- (4n^2-1) \le -3n^2 \end{eqnarray*}$

Kenn mich nich so aus, aber geht das so?

03.10.2011, 12:17

René Gruber

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Zitat:

Original von tmo
@Cacul: Das ist so nicht ernst gemeint, oder? verwirrt