Differentialoperator kompakt ?

02.10.2011, 13:16	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialoperator kompakt ? Ich betrachte den Differentialoperator $\begin{eqnarray} L : (C^3(I, \mathbb R), \|\|.\|\|) \to (C(I, \mathbb R), \|\|.\|\|_{\infty} ), f \to a_2f'' + a_1 f' + a_0 f \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} I = [a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\|f\|\| := \|\|f'''\|\|_{\infty} + \|\|f''\|\|_{\infty} + \|\|f'\|\|_{\infty} + \|\|f\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Nun betrachte ich $\begin{eqnarray} L(K_1(0)) \end{eqnarray}$ . Diese Familie ist offensichtlich punktweise beschränkt. Zudem sollte die Menge auch gleichgradig stetig sein, da $\begin{eqnarray} f,f',f'' \end{eqnarray}$ Lipschitzstetig mit $\begin{eqnarray} L \leq 1 \end{eqnarray}$ sind. Demnach würde aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgen, dass $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ kompakt ist. Daraus ergeben sich aber einige etwas seltsame Folgerungen: 1) Das EWP $\begin{eqnarray} Lu = \lambda u \end{eqnarray}$ (mit beliebigen Randbedingungen) hat, nach der Existenz von AWP, für alle $\begin{eqnarray} \lambda \notin a_0(I) \end{eqnarray}$ eine Lösung. Das sind überabzählbar viele Lösungen. Nach obigen Ergebnis könnten aber höchstens abzählbar viele öfter als 2mal differenzierbar sein (kompakter Operator hat höchstens abz. viele EW). 2) In einer anderen Überlegung habe ich (wenn ich keinen Fehler gemacht habe) festgestellt, dass $\begin{eqnarray} L(C^3(I,\mathbb R)) \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist (mit der Folge der Inhomogenitäten, ist auch die Folge der Lösungen eine CF-Folge, wegen der stetigkeit von L folgt die Behauptung). Daraus müsste nun aber folgen (wegen Kompaktheit), dass dieses Bild sogar endlich dimensional ist. Nun kommen mir diese Ergebnisse etwas seltsam vor. Haben sich Fehler eingeschlichen ? Kann jemand diese Ergebnisse bestätigen? lg Felix
05.10.2011, 07:13	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
1) ist natürlich so erstmal nicht ganz richtig, da ich ja keinen Endomorphismus habe ...

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