Untervektorraum, Äquivalenzklasse

30.12.2006, 12:30

Dr. Logik

Untervektorraum, Äquivalenzklasse

Hallo Leute!

Bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz für folgende Aufgabe richtig ist:

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ seien der Untervektorraum (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} U_a:= \langle (1,a,0,2),(1-a,2-a^2,1,-1),(3,0,-a,1) \rangle _{\mathbb {R}} \end{eqnarray*}$

sowie die Vektoren $\begin{eqnarray*} x:=(0,2,1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y:=(1,-2,0,-1) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so, dass die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} x+U_a,y+U_a \in \mathbb{R} ^4/U_a \end{eqnarray*}$

a) gleich
b) linear unabhängig sind.

Hier nun mein Ansatz:

zu a)
Wenn ich a so bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist, dann deckt diese Äquivalenzklasse den gesamten $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} ^4 \end{eqnarray*}$ -Raum ab. Das bedeutet, wenn $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ auch linear unabhängig ist, dass in diesem Fall die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} x+U_a, y+U_a \end{eqnarray*}$ gleich sind. Somit wäre a) gelöst.
Ist dieser Ansatz soweit in Ordnung?

zu b)
Hier fehlt mir noch die zündende Idee. Meine Überlegung ist, dass ich a so bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ jeweils linear abhängig sind und zwei Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} ^3 \end{eqnarray*}$ beschreiben, die parallel verlaufen und deren Schnitt somit disjunkt ist.
Allerdings weiß ich nicht, wie man das konstruieren kann und ob das überhaupt die richtige idee ist...

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße, Dr. Logik

30.12.2006, 22:02

Abakus

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse

Zitat:

Original von Dr. Logik
zu a)
Wenn ich a so bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist, dann deckt diese Äquivalenzklasse den gesamten $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} ^4 \end{eqnarray*}$ -Raum ab. Das bedeutet, wenn $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ auch linear unabhängig ist, dass in diesem Fall die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} x+U_a, y+U_a \end{eqnarray*}$ gleich sind. Somit wäre a) gelöst.
Ist dieser Ansatz soweit in Ordnung?

$\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ ist erstmal nur ein Vektor im betrachteten Quotientenraum. Hier von linear unabhängig zu sprechen, macht keinen Sinn (was soll das bedeuten ?).

Du hast: $\begin{eqnarray*} x+U_a \stackrel{!}{=} y+U_a \Leftrightarrow (x-y) \in U_a \end{eqnarray*}$ . Jetzt versuche a zu berechnen.

Zitat:

zu b)
Hier fehlt mir noch die zündende Idee. Meine Überlegung ist, dass ich a so bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ jeweils linear abhängig sind und zwei Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} ^3 \end{eqnarray*}$ beschreiben, die parallel verlaufen und deren Schnitt somit disjunkt ist.
Allerdings weiß ich nicht, wie man das konstruieren kann und ob das überhaupt die richtige idee ist...

Was bedeutet es denn, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sein sollen ? Kannst du das als Gleichung mit einer Linearkombination formulieren, die bestimmte Bedingungen erfüllt ?

Grüße Abakus smile

31.12.2006, 13:12

Dr. Logik

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Hi Abakus.
Danke schon mal für deine Antwort. Ich hatte das mit $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ total falsch verstanden. Hoffe, dass ich jetzt weiterkommen werde.

Viele Grüße, Dr. Logik

03.01.2007, 12:11

Dr. Logik

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Noch mal eine Frage:

Was bedeutet denn, dass zwei Äquivalenzklassen linear unabhängig sind?
Heißt das einfach, dass es sich um zwei verschiedene Äquivalenzklassen handelt?
Wenn ja, dann gibt es doch eigentlich nur die zwei Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} x \in U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \notin U_a \end{eqnarray*}$ oder sehe ich das falsch?
Und dementsprechend müsste man dann zwei Gleichungssysteme aufstellen.

Wäre nett, wenn mir nochmal jemand erklärt, was das mit den Äquivalenzklassen genau bedeutet...
Danke, Dr. Logik

04.01.2007, 00:46

Abakus

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse

Zitat:

Original von Dr. Logik
Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so, dass die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} x+U_a,y+U_a \in \mathbb{R} ^4/U_a \end{eqnarray*}$

Du befindest dich im Quotientenraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} ^4/U_a \end{eqnarray*}$ , dessen Elemente die Äquivalenzklassen sind. Lineare Unabhängigkeit ist im Quotientenraum ganz normal definiert (der Quotientenraum ist ja ein Vektorraum).

Grüße Abakus smile

05.01.2007, 13:04

Dr. Logik

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Ich glaube mein Problem ist es, dass ich die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ noch nicht richtig verstanden habe. Kannst du mir das bitte nochmal (für dumme) erklären?

05.01.2007, 17:56

Abakus

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Die Bildung von Quotientenräumen wird dir als grundlegende Konstruktion in den verschiedensten Bereichen der Mathematik begegnen. Die Konstruktion sollte also verstanden werden.

Die Grundidee ist hier, einen Vektorraum zu vereinfachen, indem bestimmte Dinge identifiziert werden (mittels einer Äquivalenzrelation) und das ganze so gemacht wird, dass es mit der linearen Struktur eines Vektorraums harmoniert.

Insgesamt ist der entstandene Quotientenraum "kleiner" (betrachte die Dimensionsformel etwa) und dadurch eine Vereinfachung.

Siehe zunächst einmal hier: Faktorraum

Grüße Abakus smile

06.01.2007, 18:39

Dr. Logik

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Danke für die Erklärung und den Link Abakus!

Also ich versuche es jetzt nochmal erneut mit der b)

Wenn $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhänigig sind, dann gilt $\begin{eqnarray*} x-y \notin U_a \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

Viele Grüße, Dr. Logik

06.01.2007, 20:15

Abakus

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse

Zitat:

Original von Dr. Logik
Wenn $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhänigig sind, dann gilt $\begin{eqnarray*} x-y \notin U_a \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

Das stimmt, sagt aber nicht viel aus (es ist keine Äquivalenz). Wäre $\begin{eqnarray*} x-y \in U_a \end{eqnarray*}$ , so folgt bereits $\begin{eqnarray*} x + U_a = y + U_a \end{eqnarray*}$ .

Du hast:

$\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear abhänigig (also kollinear) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda \neq 0 : \lambda \cdot (x + U_a) = y + U_a \end{eqnarray*}$ .

Letzteres bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (x + U_a) = \lambda \cdot x + U_a = y + U_a \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

07.01.2007, 13:17

Dr. Logik

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RE: Untervektorraum, Äquivalenzklasse
Was du jetzt da geschrieben hast, ist aber doch für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a=y+U_a \end{eqnarray*}$ gilt. Das wäre ja Aufgabenteil a. Den habe ich ja auch bereits gelöst. Ich habe allerdings Probleme damit, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein sollen. Da hilft mir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda x-y \in U_a \end{eqnarray*}$

nicht weiter oder sehe ich das falsch?

(Sorry, dass ich so schwer von Begriff bin.)

07.01.2007, 14:12

Martin!

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Hi,

bin auch am bearbeiten dieser Aufgabe. Und wollte mal was fragen zu der a)

Muss ich hier einfach ein lineares Gleichungssystem lösen?
Also, dass ich einfach sage:
$\begin{eqnarray*} x+U_a = y+U_a \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x+U_a - y - U_a = 0 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x - y = 0 \end{eqnarray*}$

und dann einfach das Gleichungssystem lösen? oder ist das falsch?

07.01.2007, 14:27

Abakus

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Zitat:

Original von Martin!
Und wollte mal was fragen zu der a)

Muss ich hier einfach ein lineares Gleichungssystem lösen?
Also, dass ich einfach sage:
$\begin{eqnarray*} x+U_a = y+U_a \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x+U_a - y - U_a = 0 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x - y = 0 \end{eqnarray*}$

und dann einfach das Gleichungssystem lösen? oder ist das falsch?

Das letzte muss heißen $\begin{eqnarray*} x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ . Dazu kannst du dann ein LGS lösen.

Zitat:

Original von Dr. Logik
Was du jetzt da geschrieben hast, ist aber doch für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a=y+U_a \end{eqnarray*}$ gilt. Das wäre ja Aufgabenteil a. Den habe ich ja auch bereits gelöst. Ich habe allerdings Probleme damit, dass $\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein sollen. Da hilft mir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda x-y \in U_a \end{eqnarray*}$

nicht weiter oder sehe ich das falsch?

Doch, die sollte weiterhelfen. Nochmal, du hast:

$\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear abhänigig (also kollinear)

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda \neq 0 : \lambda \cdot (x + U_a) = y + U_a \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda \neq 0 : \lambda \cdot x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

07.01.2007, 14:41

Dr. Logik

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Zitat:

Original von Abakus

Doch, die sollte weiterhelfen. Nochmal, du hast:

$\begin{eqnarray*} x+U_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U_a \end{eqnarray*}$ linear abhänigig (also kollinear)

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda \neq 0 : \lambda \cdot (x + U_a) = y + U_a \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda \neq 0 : \lambda \cdot x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ .

Manschmal is ma aba au wie vernaschelt...

Ich muss also a so bestimmen, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda x-y \in U_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

So stimmt's jetzt oder?

Ist eigentlich gar nicht so schwer, wenn man nicht mit beiden Füßen mitten aufm Schlauch steht.

Danke Abakus!

07.01.2007, 14:43

Martin!

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hmm, tut mir echt leid, wenn ich das jetzt nicht wirklich verstehe.

@Abakus sagte ja, oder zumindest habe ich es jetzt so verstanden, dass nun

$\begin{eqnarray*} x+U_a = y+ U_a \Leftrightarrow x+U_a - y- U_a = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x- y \in U_a \end{eqnarray*}$

gilt, oder?

Aber wie sollte nun das Lineare Gleichungssystem aussehen?

Wie muss das gebildet werden? Ich glaube, mir ist das doch noch nicht so klar Tanzen

07.01.2007, 16:48

Abakus

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Also generell macht euch dieser Quotientenvektorraum noch Probleme. Daher mal allgemein dazu einige Sachen:

- die Elemente sind Äquivalenzklassen und haben die Form $\begin{eqnarray*} x + U_a \end{eqnarray*}$ , der Raum $\begin{eqnarray*} U_a \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum.

- diese Äquivalenzklassen sind Mengen, nämlich $\begin{eqnarray*} x + U_a := \{y : \exists u \in U_a : y = x + u \} \end{eqnarray*}$ ; ferner sind Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt.

- zwei Äquivalenzklassen können natürlich unterschiedliche Darstellungen haben, zB $\begin{eqnarray*} x + U_a = y + U_a \end{eqnarray*}$ ist möglich für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ .

- gilt $\begin{eqnarray*} x + U_a = y + U_a \end{eqnarray*}$ , so bedeutet das $\begin{eqnarray*} x \in y + U_a \end{eqnarray*}$ (weil der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U_a \end{eqnarray*}$ den Nullvektor enthält, muss das gelten), d.h. es existiert ein Vektor $\begin{eqnarray*} u \in U_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = y + u \end{eqnarray*}$ .

Letzteres könnst ihr auch schreiben als $\begin{eqnarray*} u = x - y \end{eqnarray*}$ . Also gilt in einem solchen Fall $\begin{eqnarray*} x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ .

- die Rechenregeln in diesem Quotientenraum sehen wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} (x + U_a) + (y + U_a) = (x + y) + U_a \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (x + U_a) = (\lambda \cdot x) + U_a \end{eqnarray*}$

Das müsst ihr euch zunächst klarmachen. Rechnen kann man in diesem VR wie in jedem anderen VR auch (lineare Gleichungen aufstellen und lösen, lineare Abhängigkeit usw.)
Wie die Vektoren in $\begin{eqnarray*} U_a \end{eqnarray*}$ abhängig von a aussehen, wisst ihr ja. Also wisst ihr auch, was zB $\begin{eqnarray*} x - y \in U_a \end{eqnarray*}$ bedeuten muss.

Grüße Abakus smile

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