Umrechnung Differentiale

02.10.2011, 19:40

_-Alex-_

Umrechnung Differentiale

Moin,

ich hätte mal eine Frage zur Umrechnung von Differentialen.

Wenn ich jetzt z.B. von Kartesischen- zu Kugelkoordinaten gehen möchte. Warum kann ich nicht das totale Differential bilden, also
$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x = \frac{\partial x}{\partial r} \mathrm{d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} \mathrm{d}\theta + \frac{\partial x}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi \end{eqnarray*}$

das gleiche für y und z tun, und dann dxdydz durch die 3 Ausdrücke ersetzen und dann ausmultiplizieren. Da kommen ja immer störende Ausdrücke wie dr^2 rein usw.
Warum geht das so nicht?

MfG

03.10.2011, 10:31

gonnabphd

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Das geht tatsächlich. Allerdings muss man dafür ein paar Regeln beachten (zur rigorosen Definition benutzt man Differentialformen).

Mit den Regeln

$\begin{eqnarray*} dx\wedge dy = - dy \wedge dx \end{eqnarray*}$ insbesondere also $\begin{eqnarray*} dx \wedge dx = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(x+y)\wedge dz = dx \wedge dz + dy \wedge dz \end{eqnarray*}$

(analog dann für 3-, 4-, ..., n-Formen)

kommt man eigentlich so formal schon ans Ziel. z.B. kartesisch zu polar:

$\begin{eqnarray*} dx \wedge dy &=& \left(\frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta\right)\wedge \left(\frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta\right) \\ &=& \left(\frac{\partial x}{\partial r}\cdot\frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial y}{\partial r}\cdot\frac{\partial x}{\partial \theta} \right)dr\wedge d\theta \end{eqnarray*}$

nun $\begin{eqnarray*} x = r\cos\theta, \; y = r\sin \theta \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} \ldots &=& \left(r\cos^2\theta - r (-\sin^2\theta)\right) dr \wedge d\theta \\&=& r \, dr\wedge d\theta \end{eqnarray*}$

Also das bekannte Resultat. Das funktioniert ganz allgemein. Ob's irgendwelche Vorteile bringt für die Berechnung von Integralen, ist eher fraglich (aber es gibt andere Anwendungen, wo sie genial sind).

03.10.2011, 11:08

_-Alex-_

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Besten Dank smile

.

Die Schreibweise und Regeln sind mir zwar gänzlich neu, aber genau das was ich gesucht habe.
Finde die Umrechnung damit viel schöner, als wenn ich mit der Jacobi-Matrix rumrechne und ich dann aus mir bisher unergründlichen Gründen die Determinante berechne..

EDIT:
Eine Frage hätte ich dazu aber nun doch noch. Wenn ich ein Integral mit dem Volumenelement dxdydz habe, kann ich doch die Differentiale vertauschen. Aber wenn ich bei obiger Berechnung dx und dy z.B. vertausche, kommt ja ein Minus rein. Das verwirrt mich noch ein wenig.

04.10.2011, 08:40

gonnabphd

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Zitat:

Aber wenn ich bei obiger Berechnung dx und dy z.B. vertausche, kommt ja ein Minus rein.

Ja, das ist wohl tatsächlich ein bisschen verwirrend. Zu tun hat das damit, dass man Differentialformen nur über positiv orientierte Koordinaten integrieren darf.

z.B. ist (x,y,z) definitionsgemäss positiv orientiert, aber (x,z,y) ist negativ orientiert (die Übergangsmatrix (x,y,z) -> (x,z,y) hat Determinante -1). Das widerspiegelt eben genau dieses

$\begin{eqnarray*} dx\wedge dy\wedge dz = -dx\wedge dz \wedge dy \end{eqnarray*}$

Man muss deshalb jeweils die Differentialform in eine Form bringen, so dass die Koordinaten in der richtigen Reihenfolge sind und definiert nur für diese überhaupt ein Integral.

Aber ich vermittle dir hier gefährliches Halbwissen und hoffe, dass du damit umzugehen weisst Augenzwinkern

04.10.2011, 15:24

_-Alex-_

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Nochmals vielen Dank für die Antwort smile

Also ich hab hier ja eine Aufgabe, bei der ich das mal gebraucht habe.
Und zwar hab ich hier parabolische Koordinaten
$\begin{eqnarray*} x = \frac{u^2-v^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=uv \end{eqnarray*}$
und ich soll folgendes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt zunächst mein x und y ersetze komm ich ja auf das folgende Integral:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{u^2+v^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich dann mein dx und dy umrechnen wollen.
$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x = \frac{\partial x}{\partial u} \mathrm{d}u + \frac {\partial x}{ \partial v} \mathrm{d}v= u \mathrm{d}u -v \mathrm{d} v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y= \frac{ \partial y}{ \partial u} \mathrm{d} u + \frac{ \partial y}{ \partial v} \mathrm{d}v = v \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = ( u\mathrm{d}u - v\mathrm{d}v) \wedge ( v \mathrm{d}u + u \mathrm{d} v) = u^2 \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}v - v^2 \mathrm{d}v \wedge \mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Damit ich jetzt da was ausklammern kann und es sich im Integral wegkürzt habe ich nun im letzten Term die Differentiale gekürzt, so dass rauskommt
$\begin{eqnarray*} (u^2+v^2) \mathrm{d}u \mathrm{d}v \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann in mein Integral gepackt. Kann man das so machen?

Ich habe sonst auch schon mal bei Integralen, z.B. Volumen oder so, die Differentiale einfach vertauscht gehabt und es kam das richtige raus, hat man dann eigentlich einen Fehler begangen?

MfG

04.10.2011, 15:46

gonnabphd

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Zitat:

Ich habe sonst auch schon mal bei Integralen, z.B. Volumen oder so, die Differentiale einfach vertauscht gehabt und es kam das richtige raus, hat man dann eigentlich einen Fehler begangen?

Nein, nicht unbedingt. Das ist wegen Fubini normalerweise schon in Ordnung.
Das Problem ist folgendes: Man kann über Differentialformen integrieren, aber Differentialformen sind viel mehr als "Integrale", bzw. viel mehr als nur "dx dy dz mit ein paar Rechenregeln".

Das meine ich denn auch mit gefährlichem Halbwissen: Man sollte nichts benutzen, was man nicht versteht (i.e. Differentialformen). Alles, was du hier mit Differentialformen machen willst, kannst du genauso gut auf die übliche, in deiner Analysis-Vorlesung vorgestelle Weise mit Parametrisierungen machen.

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