Wie beweise ich, dass Produkt aus zwei ganzen Zahlen eine ganze Zahl ergibt? |
| 02.10.2011, 21:49 | nichtMathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wie beweise ich, dass Produkt aus zwei ganzen Zahlen eine ganze Zahl ergibt? Wie beweiße ich, dass Produkt aus zwei ganzen Zahlen eine ganze Zahl ergibt? Meine Ideen: ich habe keine Idee |
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| 02.10.2011, 22:08 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man voraussetzen darf, daß die Summe zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ist, dann ist's einfach. (Überlege mal, was a*b "ausgeschrieben" bedeutet!) |
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| 03.10.2011, 00:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Am besten mit weißer Farbe, anders geht es nicht 
__________ Oder meinst du am Ende gar beweisen? |
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| 03.10.2011, 00:53 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mich erinnert das alles an Ring- bzw. Gruppentheorie. "Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bzgl. der Addition und Multiplikation." Ich versuche mich gerade zu erinnern, wie man es (im Rahmen der Ring- und Gruppentheorie) zeigen würde, Stichwort "Abgeschlossenheit"... 
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| 03.10.2011, 01:38 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dazu bräuchte man die Definition der ganzen Zahlen. Und da man dafür natürliche Zahlen benötigt, bräuchte man eine Axiomatik für eben jene, also zum Beispiel Peano-Axiome. Und dann bräuchte man natürlich eine korrekte Definition der Multiplikation (auch die kann man aufschreiben). Das sind natürlich schon schwere Geschütze. Wenn man die Abgeschlossenheit der Addition nicht voraussetzen darf (s. PhyMaLehrer), so fällt mir allerdings auch kein anderer Weg ein. air |
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| 03.10.2011, 08:01 | Cacul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Wie beweise ich, dass Produkt aus zwei ganzen Zahlen eine ganze Zahl ergibt?
Ist a,b ganzzahlig, a/b reel, dann ist a/b* b immer a und ganzahlig , ebenso ist b/a*a immer b und ganzzahlig. Dann muss aber auch a*b = (a/b*b) *(b/a*a) ganzahlig sein! |
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| 03.10.2011, 10:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Cacul: Das ist so nicht ernst gemeint, oder?
Zum Thema: Airblader hat ja schon angesprochen, wie tief man gehen müsste, um das sauber nachzuweisen. Aber: In vielen Analysis-Büchern und Vorlesungen wird auf den Aufbau des Zahlensystems verzichtet und die reellen Zahlen sofort axiomatisch eingeführt. Die ganzen Zahlen werden dann einfach mit dem von der 1 erzeugten Teilring identifiziert und dann ist die Sache per Definition bewiesen 
Hat man den Begriffs des Ring (was in der Analysis ja durchaus vorkommen kann) noch nicht, so muss man die natürlichen und die ganzen Zahlen ja irgendwie anders charakterisieren. Z.b. als kleinste induktive Teilmenge mit 1 oder als Menge aller endlichen Summen der 1. In diesen Fällen wäre der Beweis dann ein Fall für Induktion. |
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| 03.10.2011, 15:46 | Cacul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach einer Äquivalenzrelation sieht die Aufgabenstellung nicht aus. Ganze Zahlen sind im reellen Körper. Führt doch einfach reell ein, aber was bringts? Primzahlen sind nur durch sich und durch 1 teilbar, und jedes ganzahlige Produkt besteht aus Primzahlen! Das is der Grund! |
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| 04.10.2011, 02:35 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung, was du uns mitteilen möchtest. Aber, auch wenn es bereits gesagt wurde, nur nochmal um sicher zu gehen, diese 'Argumentation' ist ganz sicher kein Beweis:
Ich sehe absolut nicht, wie die letzte Folgerung klappen soll. Du zerlegst a*b in zwei andere Faktoren und hast vorher begründet, warum diese ganzzahlig sind. Stimmt, aber das wussten wir bereits vorher. Wieso dieses Produkt nun ganzzahlig sein soll geht daraus immer noch nicht hervor. air |
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