Lebesque Integrierbarkeit

02.10.2011, 23:38

Paulie1

Lebesque Integrierbarkeit

Hallo,

wieso ist sin(x)/x nicht L^1 integrierbar? Die einzig, anschauliche Erklärung, die mir dazu einfällt, ist das es ja unendlich viele Urbilder von Intervallen von Funktionswerten nahe y=0 gibt. Kann man das so sagen?

Aber auf L^2 ist es integrierbar, oder täusche ich mich da? Wenn ja wieso ist es dort integrierbar?

mfg.

02.10.2011, 23:48

Gast11022013

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RE: Lebesque Integrierbarkeit
Wieso ist
$\begin{eqnarray*} x\mapsto \sin x/x \end{eqnarray*}$ nicht Lebesgue-integrierbar über $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ ?

Kurz gesagt, weil $\begin{eqnarray*} \vert\sin x/x\vert \end{eqnarray*}$ nicht über $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ uneigentlich Riemann-integrierbar ist (denn?).

Edit: Du meinst doch über $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ , oder?

02.10.2011, 23:53

Paulie1

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Ja den Satz kenne ich. Wie man es genau beweist müsste ich aber erst einmal überlegen. Ich bin nur auf der Suche nach einer "bildlichen Erklärung". Gibt es da eine?

02.10.2011, 23:54

Gast11022013

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Eine bildliche Erklärung?

Hm, ich weiß nicht, inwiefern das hier so nützlich ist.

Ich kenne leider keine.

02.10.2011, 23:56

Paulie1

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Ok vielleicht fällt ja noch jemanden eine ein. Für den Beweis bin ich jetzt zu müde. Den schaue ich mir morgen mal an.

02.10.2011, 23:59

Gast11022013

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Ja, versuche den mal. Ich glaube, er ist nicht so schwer.

03.10.2011, 20:20

Paulie1

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Also ich habe mal ein wenig über den Beweis nachgedacht. Leider bin ich nciht sehr weit gekommen. Ich komme auch aus einer Fachrichtung, in der Beweise nicht so üblich sind. Deshalb habe ich darin wenig Übung.

Meine Idee ist aber folgende. Ich muss eine Minorante finden, deren Integral ebenfalls nicht konvergiert. Kann das klappen? Nur wie sucht man so eine Minorante?

03.10.2011, 23:38

Gast11022013

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Was genau willst Du denn jetzt beweisen?

Daß $\begin{eqnarray*} \vert \sin x/x\vert \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ nicht uneigentlich Riemann-integrierbar ist?

04.10.2011, 08:43

Paulie1

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Ja genau. Mich würde aber Interesse hallber auch interessieren, wie man nachweist, dass das Riemannintegral ohne die Betragsstriche existiert.

Für den Fall wäre meine Idee, eine Summe über die Integrale über alle Nullstellen zu bilden. Das müsste eine alternierende Reihe ergeben, die nach Leibniz konvergiert. Hier fehlt mir aber die Idee, wie genau ich den Beweis führe. Also Anfang und Ende sind mir klar, nur das Mittelstück nicht.

04.10.2011, 09:19

René Gruber

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Da sehe ich verschiedene Möglichkeiten für einen solchen Divergenzbeweis:

(1) Abschätzen nach unten durch ein Integral, welches (für festes $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ ) nur über die Intervalle mit $\begin{eqnarray*} |\sin(x)| \geq c \end{eqnarray*}$ läuft. Passende Kandidaten für einen einigermaßen eleganten Aufschrieb wären z.B. $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

(2) Partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)}{x} ~ \dd x = -\frac{\cos(x)}{x} ~-~ \int \frac{\cos(x)}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

ebenfalls dann für eine geeignete Intervallzerlegung (gemäß Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ) genutzt...

Version (2) hat den Vorteil, dass sie ebenfalls für

Zitat:

Original von Paulie1
Mich würde aber Interesse hallber auch interessieren, wie man nachweist, dass das Riemannintegral ohne die Betragsstriche existiert.

geeignet ist.

04.10.2011, 13:06

Gast11022013

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Ja, Weg (2) geht am besten.

So wirds übrigens auch im Königsberger, "Analysis I" gemacht. Ein Blick in das Buch lohnt sich hier.

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