allgemeine Lösung bestimmen

03.10.2011, 10:09

Meier

allgemeine Lösung bestimmen

Meine Frage:
Ich soll eine und die allgmeine Lösung der folgenden gleichung bestimmen;

6x+10y+15z=1

Meine Ideen:
Also zuerst habe ich das ggt(6,10,15) berechnet und komme auch durch den Euklidischer Algorithmus auf die Lösung
x= -14 , y= 7, z=1 => 6*(-14) + 10 *(7) +15* (1) =1

Passt, nur wie komme ich auf die allgemeine Lösung??

mfg

03.10.2011, 10:53

galoisseinbruder

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Ich vermute aufgrund Deiner Idee, Du bist auf der sich nach allen ganzzahligen Lösungen. Wie gehst Du denn in linearen Gleichungssystemen vor bei der Bestimmung aller Lösungen?

03.10.2011, 10:53

René Gruber

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Hättest vielleicht gleich in der Aufgabenstellung erwähnen sollen, dass du diese Gleichung als Diophantische Gleichung verstehen willst, d.h., nur an ganzzahligen Lösungen interessiert bist. Im späteren Verlauf wird das zwar deutlich, aber es gehört trotzdem mit in die Aufgabenstellung.

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Ich würde die Gleichung modulo 5 betrachten:

$\begin{eqnarray*} x \equiv 1\bmod 5 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x=5k+1 \end{eqnarray*}$ .

Dann modulo 3:

$\begin{eqnarray*} y\equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y=3m+1 \end{eqnarray*}$ .

Beides in die Originalgleichung einsetzen und nach dem noch fehlenden $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ umformen:

$\begin{eqnarray*} 6(5k+1)+10(3m+1)+15z = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -1-2k-2m \end{eqnarray*}$ .

Fertig ist die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \left\{ (5k+1,3m+1,-1-2k-2m) \bigm| k,m\in\mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$ .

03.10.2011, 11:11

Meier

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Nun ja ich habe gelernt, dass bei der GLeichung
$\begin{eqnarray*} ax +by =1 \end{eqnarray*}$

für die allgemeine Lösung, wenn r,q Lösungen sind, gilt: (diesmal suche ich wieder nur ganzzahlige Lösungen)
$\begin{eqnarray*} (q,r) +t(\frac{b}{ggt(a,b)} +\frac{a}{ggt(a,b)} \end{eqnarray*}$

daraus folgt weiter gleich, da das ggt(a,b) = 1, die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} (q + b *t, r +a*t) \end{eqnarray*}$

aber wie funktioniert dies bei mehr als 2 unbekannten??

mfg

03.10.2011, 11:48

René Gruber

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Zitat:

Original von Meier
für die allgemeine Lösung, wenn r,q Lösungen sind, gilt: (diesmal suche ich wieder nur ganzzahlige Lösungen)
$\begin{eqnarray*} (q,r) +t(\frac{b}{ggt(a,b)} +\frac{a}{ggt(a,b)} \end{eqnarray*}$

daraus folgt weiter gleich, da das ggt(a,b) = 1, die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} (q + b *t, r +a*t) \end{eqnarray*}$

Mehrere Schreibfehler: falsche Vorzeichen und anderes...

Anscheinend meinst du

$\begin{eqnarray*} (q,r) +t\left(\frac{b}{\operatorname{ggT}(a,b)}, -\frac{a}{\operatorname{ggT}(a,b)} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was im Fall $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,b)=1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (q+bt, r-at) \end{eqnarray*}$ wird.

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Also gut, du willst beschrieben haben, wie man allgemein bei mehr als zwei Variablen iterativ vorgeht:

Die diophantische Gleichung

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + \ldots a_nx_n = b \end{eqnarray*}$

mit gegebenen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n,b \end{eqnarray*}$ ist genau dann lösbar, falls $\begin{eqnarray*} g:=\operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_n) \mid b \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir zunächst die Hilfsgleichung

$\begin{eqnarray*} a'x' + a_nx_n = b \qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a':=\operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_{n-1}) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a',a_n)=g \end{eqnarray*}$ und du kannst die mit deiner Methode lösen. D.h. du findest eine Lösung $\begin{eqnarray*} (q,r) \end{eqnarray*}$ dieser Gleichung und hast dann die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} x' = q-a_nt,\; x_n = r+a't \end{eqnarray*}$ .

Für jedes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ machen wir nun folgendes: $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ halten wir fest als Bestandteil der gesuchten Lösung, es verbleibt

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + \ldots a_{n-1}x_{n-1} = a'x' = a'q-a'a_nt \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wird diese Gleichung nach dem gleichen Verfahren, nunmehr mit einer Variable weniger, gelöst...

03.10.2011, 12:19

Meier

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mein Gott ich steig gerade aus...

Also wenn ich dies nun an meinen Beispiel durchfürhen will (6x+10y+15z=1)

Prüfe ich zuerst ob sie lösbar ist also

ggt(6,10,15) | 1 => 1|1 also ist es lösbar

Nun weiß ich nicht weiter...

Die Lösungen zu x,y,z habe ich schon über den Euklidischer Algorithmus ermittelt

aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass die all. Lösung ist verwirrt

(-14 + 6*t , 7 + 10*t, 1+15*t) für t $\begin{eqnarray*} \in Z \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 12:22

René Gruber

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Ich hab einen leichteren Weg aufgezeigt - du hast nicht reagiert. Dann hab ich den allgemeineren Weg aufgelistet - da kommt das

Zitat:

Original von Meier
mein Gott ich steig gerade aus...

Da schließe ich mich dann an. Wink

03.10.2011, 12:27

Meier

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Naja stimmt das jetzt was ich als Lösung angegeben habe:

(-14 + 6*t , 7 + 10*t, 1+15*t) für t $\begin{eqnarray*} \in Z \end{eqnarray*}$

mfg

03.10.2011, 12:45

galoisseinbruder

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Nein.
Du hast z.B. die offensichtliche Lösung (1,1,-1) nicht dabei.

Ich würde Dir raten René Gruber´s hervorragende Posts mal genau durchzulesen (durchzudenken) evtl. auch dein Skript/ Buch.

Mindestens solange das nicht der Fall ist, bin auch ich raus.

03.10.2011, 15:54

René Gruber

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Zitat:

Original von Meier
Naja stimmt das jetzt was ich als Lösung angegeben habe:

(-14 + 6*t , 7 + 10*t, 1+15*t) für t $\begin{eqnarray*} \in Z \end{eqnarray*}$

Da muss man eigentlich nur mal zur Probe in die Originalgleichung einsetzen um zu sehen, dass das lediglich für t=0 eine Lösung darstellt, für alle anderen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht.

Angesichts dessen, dass ich oben in meinem ersten Beitrag ja schon die Lösung genannt (und begründet!) habe, ist dieser dein "Vorschlag" die pure Ignoranz.

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