Mittlere Änderungsrate von f im Intervall

03.10.2011, 18:50

Elementar16

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Mittlere Änderungsrate von f im Intervall

Einen wunderschönen guten Abend, habe ein kleines Problemchen:

es geht um die mittlere Änderungsrate von f im angegeben Intervall.

Aufgabe:

a) f(x) = x² I = [ 0,1]
b) f(x) = 2x I = [ 0;1]
c) f(x) = 0,5² I = [ 1;4]
d) f(x) = 1-x² I = [1;3 ]

Also, mein Vorschlag für a lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-0}{1-0} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

ist das richtig? und wenn ja, wie mache ich das für b, da hat man ja 2x???

Liebe Grüße

03.10.2011, 18:56

Pilot9

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Zitat:

ist das richtig? und wenn ja, wie mache ich das für b, da hat man ja 2x???

Ja, ist richtig. Nur versteh ich nicht ganz wo jetzt bei b) das Problem liegen soll? DU machst es da einfach genauso, nur mit anderer Funktion. smile

smile

03.10.2011, 18:58

Elementar16

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ja, eben, wo soll denn die funktion rein? Big Laugh

Big Laugh

03.10.2011, 19:00

Pilot9

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Probiers doch mal mit dem Ansatz, denn du auch bei a) genutzt hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2011, 19:02

Elementar16

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ja, im grunde ist es ja immer f durch x.

Aber es kann bei b doch nicht das gleiche sein wie bei a)

$\begin{eqnarray*} \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-0}{1-0} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 19:04

Pilot9

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Da hast du recht, weil in diesem Fall $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f(1)=2\cdot1 \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer?

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03.10.2011, 19:06

Elementar16

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$\begin{eqnarray*} \frac{f(2)-f(0)}{1-0} \end{eqnarray*}$

so richtig?

03.10.2011, 19:13

Elementar16

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oder ist das falsch? :/

03.10.2011, 19:14

Pilot9

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Ich hab das Gefühl, dass du nicht so ganz sicher mit der Notation bist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir wolln ja die mittlere Änderungsrate im Intervall [0 ; 1] berechnen.

Die Änderungsrate bezeichnet man im allgemeinen auch als Anstieg und lässt sich mit folgender Formel berechnen, welche du ja auch schon benutzt hast.

$\begin{eqnarray*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ sind dabei die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ an der jeweiligen Stelle x.

Du schreibst jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{f(2)-f(0)}{1-0} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, du meinst mit $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 1 da $\begin{eqnarray*} f(1)=2\cdot1=2 \end{eqnarray*}$ und schreibst nur fälschlicherweise $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ , kann das sein?

Wenn dem so wäre, wär es richtig, nur wäre es besser mit den ausgerechneten Funktionswerten zu arbeiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2011, 19:17

Elementar16

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Naja, man könnte vllt auch sagen, dass ich nicht so recht weiß wie ich das nun von der lokalen Änderungsrate unterscheiden kann.

Also klar,bei der lokalen hat man einen Punkt an den man sich nähern will und bei der mittleren einen Intervall.

Also ich weiß nicht so recht, beider lokalen habe ich glaube ich kein Problem den Funktionswert einzusetzten, aber hier?

03.10.2011, 19:26

Pilot9

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http://de.wikipedia.org/wiki/Steigung#Definition_und_Berechnung

Erstmal ein Link mit Grafik die dir vielleicht hilft das ganze etwas besser zu visualisieren.

Du berechnest im Prinzip nur, um bei deinem Beispiel zu bleiben, um wieviel die Funktionswerte zunehmen, wenn x sich um den Wert 1 erhöht. Dafür bildest du den Quotient aus der Differenz der Funktionswerte und der Different der Funktionsargumente. (nennt man auch den Differenzenquotient)

Bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich die lokale Änderungsrate z.B. nicht von der mittleren, da der Anstieg überall gleich ist.

03.10.2011, 19:31

Elementar16

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Okay, danke und bei c?

da habe ich dann :

$\begin{eqnarray*} \frac{f(0,5*4)-f(0,5*1)}{4-1} \end{eqnarray*}$

richtig?

03.10.2011, 19:35

Pilot9

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Falls du am Anfang keinen Schreibfehler hattest, dann heißt deine Funktion doch $\begin{eqnarray*} f(x)=0.5^2 \end{eqnarray*}$

Da ist doch $\begin{eqnarray*} f(4)=0.5^2=0.5^2 \end{eqnarray*}$ oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um es gleich aufzuklären, die Funktion ist konstant, hat also überall den Selben Funktionswert, also Änderungsrate/Anstieg 0.

Ich nehm an du hast das ganze als $\begin{eqnarray*} f(x)=0.5x \end{eqnarray*}$ gelesen.

In dem Fall wäre es richtig.

Und eins noch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(0,5*4)-f(0,5*1)}{4-1} \end{eqnarray*}$

Lass bitte die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ weg, das ist nicht unbedingt saubere Notation. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2011, 19:37

Elementar16

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ups, ja, eig ist c ) f(x) = 0,5x²

ist meins dann richtig?

04.10.2011, 00:49

Pilot9

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Huch, da ist auf einmal das Forum Offline, als ich meine Antwort abschicken will und die damit auch futsch. Naja egal, ich werd dir das jetzt anhand der gerade bearbeiteten Aufgabe noch einmal möglichst detailiert erklären und wenn du dann wieder reinschaust ist es hoffentlich klar. Am liebsten wäre mir es, wenn du dann noch die Rechnunge der übrigen Aufgabe aufschreibst, damit ich sehen kann ob du's auch wirklich verstanden hast. smile

smile

Also wir haben gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x)=0.5x^2 \end{eqnarray*}$ und das Intervall [1 ; 4]

Wir legen fest das $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=4 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt das $\begin{eqnarray*} y_1=f(1)=0.5\cdot1^2=0.5 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y_2=f(4)=0.5\cdot4^2=8 \end{eqnarray*}$

Nun brauchen wir nur noch den Differenzenquotienten, der da war:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{(0.5\cdot4^2)-(0.5\cdot1^2)}{4-1}=\frac{8-1}{4-1}=\frac{7}{3}=m \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist jetzt die gesuchte mittlere Änderungsrate. Ich habs vorallem auch mal so ausführlich aufgeschrieben, damit auch mal die korrekte Notation klar wird.

So, ich hoffe das hilft dir weiter. Wie gesagt, wär schön, wenn du die letzte Aufgabe direkt mal komplett hier durchrechnest, mit möglichst vielen Zwischenschritten, damit ich mir auch sicher sein kann, dass du auch wirklich alles verstanden hast.

Falls immer noch Fragen offen sind immer her damit. smile

smile

01.09.2013, 14:48

AJMG93

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Halllo

smile

habe ein ähnliches problem, aber nun habe ich es verstanden -glaube ich. Erst mal danke an euch alle. ABER ich glaube auch das: -(0,5*1²)=-1 nicht stimmt... -> -0,5 wäre glaube ich das richtig. Demnach ist dann m=7,5/3 -> 2,5
Das könnte einwenig irritieren.
LG AJMG93

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