Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen

03.10.2011, 19:05	ichhabeeinproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Meine Frage: Hallo! Ich habe morgen einen Mathe-Kurztest und das Thema sind gebrochen rationale Funktionen. Ich kann die Rechenschritte zwar nachvollziehen, wenn ein anderer sie macht, komme aber selbst nie auf die Lösungen. Verlangt werden die Bestimmung der Definitionsmenge, die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf Symmetrieeigenschaften (?) und Asymptoten, die Ermittlung von Nullstellen und die Skizze des Funktionsgraphen. Wenn man zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray} f:x=\frac{4-2x}{x^{2}-2x-3} \end{eqnarray}$ hat, wie geht man dann vor? Meine Ideen: Zunächst also zur Definitionsmenge: Ich muss also schauen, was ich einsetzen muss, damit im Nenner 0 rauskommt. Bei einfacheren Nennern hab ich da kein Problem, allerdings weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll. Die Asymptoten sind doch eigentlich x-Werte, für die die Funktion nicht bestimmt ist, oder? Wie kann ich die denn herausfinden? Und die Nullstellen sind doch die Punkte, an denen der Graph die x-Achse kreuzt/berührt, die werden berechnet, indem man den Zähler = 0 setzt, oder? Das würde ja dann im Prinzip eine Nullstelle bei x=2 geben. Und was für einen Graphen hat diese Funktion, bzw. wie kann ich das herausfinden? Vielen Dank für eure Hilfe!
03.10.2011, 19:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Der Nenner wird doch dann 0, wenn $\begin{eqnarray} x^2-2x-3=0 \end{eqnarray}$ ist, also das ist ein simples Nullstellenproblem. Die Asymptoten sind ihrerseits wieder Funktionen, denen sich die Ausgangsfunktion annähert, ohne sie zu berühren. Wenn man eine Kurvendiskussion durchgeführt hat kann man den Graphen recht leicht zeichnen.
03.10.2011, 20:22	ichhabeeinproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Das bedeutet also, dass die Nullstelle, also der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse, bei 5 ist? Und was ist eine Kurvendiskussion? Ich fürchte nämlich, dass wir das noch gar nicht gemacht haben... Vielen Dank!
03.10.2011, 20:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Betrachten wir immer noch den Graphen aus deinem ersten Post? Der hat keine Nullstelle bei x=5.... Jetzt mal eines nach dem anderen, berechne zuerst einmal den Definitionsbereich, dieser ist durch die Werte für x eingschränkt, für die der Nenner verschwindet, also für alle x, für die gilt $\begin{eqnarray} x^2-2x-3=0 \end{eqnarray}$ , welche sind das? Dann die Nullstelle, dazu muss der Zähler verschwinden, also 4-2x=0.
03.10.2011, 20:39	ichhabeeinproblem	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Okay, ich glaube, ich habe gerade Nullstelle und Definitionslücke verwechselt. Der Graph hat also eine Definitionslücke bei x=5, das heißt, dass die Definitionsmenge D=R/{5} und die Asymptote also auch bei 5 ist, oder? Und die Nullstelle wäre dann meinen Berechnungen zufolge bei 2. Stimmt das? Und wie ist es, wenn es mehrere Nullstellen oder Definitionslücken gibt, woran kann man das erkennen? Vielen Dank!
03.10.2011, 20:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit gebrochen rationalen Funktionen Nein, eine Definitionslücke hat er da auch nicht, denn $\begin{eqnarray} 5^2-25-3=12 \neq 0 \end{eqnarray*}$
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