Bedingte Wahrscheinlichkeiten

03.10.2011, 19:25

Fletcher

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Guten Tag,

ich bereite mich gerade auf Prüfungen vor. Dabei habe ich ein paar Probleme mit der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ist über die Bedingte Erwartung definiert, d.h. $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) = E[1_A|\mathcal B] \end{eqnarray*}$

Die entscheidende Frage ist: Ist die bedingte Erwartung ein W-maß? Warum nicht?

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank
Fletcher

03.10.2011, 19:28

HAL 9000

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Gemäß dieser Definition

Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) = E[1_A|\mathcal B] \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) = E[1_A|\mathcal B] \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße. Ist eine Zufallsgröße auch gleichzeitig ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

03.10.2011, 21:18

Fletcher

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Nein, aber ist das hier der Haken? Ich denke dass hat mit der Sigma-Additivität zu tun, oder?

04.10.2011, 10:56

René Gruber

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Zitat:

Original von HAL 9000
ist $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße.

Im Detail: Wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ und darauf die Funktion

$\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B): \; \Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Die ist laut Definition $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ -messbar, und wegen $\begin{eqnarray*} \mathcal B \subseteq \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ -messbar, was nichts anderes bedeutet, als dass dieses $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße ist.

Ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf - ja worauf, ich nehme an $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ - hingegen ist eine Funktion

$\begin{eqnarray*} \mu:\; \mathcal{A} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

mit speziellen Eigenschaften (Additivität u.a.).

Die Frage, ob also $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal B) \end{eqnarray*}$ ein solches Maß sein kann, stellt sich gar nicht, da beide Funktionen aus vollkommen verschiedenen Funktionsklassen (hinsichtlich des Definitionsbereiches) stammen. Da zu sagen, es wäre ein Vergleich zwischen Äpfeln und Birnen ist noch stark untertrieben, sagen wir eher zwischen Äpfeln und Bäumen.

04.10.2011, 14:57

Fletcher

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe den Vergleich verstanden. Dennoch gibt es ja eine reguläre Version der bedingten Wahrscheinlichkeit. Wie ist dies dann zu verstehen?

Im Skript hatte ich auf die Frage: Ist die bedingte Wahrscheinlichkeit ein W-Maß?
Nur die Antwort "fast" da stehen. Anschließend wird sofort die reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit definiert. Der Zusammenhang erschließt sich mir allerdings nicht.

Grüße

04.10.2011, 15:09

René Gruber

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Zitat:

Original von Fletcher
Dennoch gibt es ja eine reguläre Version der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Ich hab jetzt leider keine Ahnung, was du mit "reguläre Version" meinst. Aber mir schwant, dass es dir gar nicht um

$\begin{eqnarray*} \omega \mapsto P(A \bigm| \mathcal B)(\omega) \end{eqnarray*}$

geht, sondern um

$\begin{eqnarray*} A \mapsto P(A \bigm| \mathcal B)(\omega) \end{eqnarray*}$

(vielleicht für festes $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ verwirrt

). In diesem Fall sollte das aber auch deutlich betont werden, was ich in der Aufgabenstellung vermisse.

05.10.2011, 07:55

Fletcher

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Ja du hast Recht! Entschuldige.

Könntest du mir dennoch weiterhelfen?

Grüße.

05.10.2011, 09:55

Zündholz

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Hallo,
Ich hab mir auch schon des öfteren den Kopf darüber zerbrochen wie jetzt eine reguläre Version definiert ist, bzw. wo der Haken liegt. Mein aktueller Wissensstand lautet wie folgt:
Also was du schon ganz am anfang hingeschrieben hast ist eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteiltung. Diese ist wie Rene ja schon bemert hat eine Abbild die von zwei Argumenten abhängt. Eine reguläre Version (ich nenn die Version mal Q(A,\omega), d.h. $\begin{eqnarray*} Q(A,\omega) = P(A|\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ für P fast alle omega) hat dann die Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} A \mapsto Q(A,\omega) \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsmaß für alle omega, und
$\begin{eqnarray*} \omega \mapsto Q(A,\omega) \end{eqnarray*}$ messbar für alle A.

Das Problem warum man eine Version betrachtet ist meiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeitsmaß eigenschaft (die gilt denke ich a priori nur für fast alle omega). Dies kann man aber hinbekommen, indem man zu einer Version übergeht, d.h. auf Nullmengen geeignet abändert.

Meiner Meinung nach ist der Haken (wie schon gesagt bin mir nicht sicher), die Messbarkeit zu erhalten. Also zu zeigen, es existiert so ein W-maß (im ersten argument), dass dann für feste A wirklich messbar ist (im zweiten argument).

Allerdings kann man die ganze Problematik, bzw. die Schwierigkeiten die damit verbunden sind noch viel genauer aufschreiben.
Ich denke bzw. hoffe, dass das aber so einigermaßen stimmt. (lass mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen Augenzwinkern

)

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