Gleichung dritten Grades durch Punkte bestimmen |
| 03.10.2011, 21:45 | Schnupfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gleichung dritten Grades durch Punkte bestimmen Ich zitiere die Aufgabenstellung jetzt einfach mal wörtlich: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat an der Stelle x = -1 eine Nullstelle. Er schneidet die Y-Achse mit der Ordinate 2 und berührt die X-Achse an der Stelle x = 2. Meine Ideen: Folgende Punkte hat man nun ja gegeben: I f(0) = 2 II f(-1) = 0 III f(2) = 0 IV f'(2) = 0 ("berührt" die X-Achse ja nur, also Wendepunkt) V f''(2) = 0 (aus demselben Grund) Aus I folgt ja d = 2 (bei einer Funktion f(x)= ax³ + bx² + cx + d) Bleiben noch drei Unbekannte. Wenn ich c wegkriegen würde, wäre der Rest recht einfach, aber wie mache ich das? Ich bräuchte f'(0), aber, das hab ich ja nicht soweit ich das sehe... Danach könnte ich zB. über f''(2) = 0 sowas machen wie 12a = -2b, dann könnte ich in einer der anderen b durch a ersetzen und kriege damit a und b raus. Aber c muss eben noch weg... |
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| 03.10.2011, 21:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gleichung V ist nicht korrekt, denn mit einem Wendepunkt hat das nichts zu tun, da die Krümmung des Graphen hier nicht wechselt. Stelle doch zunächst mal dein Gleichungssystem auf, welche Gleichungen erhälst du ? Übrigens gerade bei dieser Aufgabe geht das alles noch um einiges eleganter, dazu aber später mehr. 
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| 03.10.2011, 21:56 | Schnupfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, dann war V f ''' (2) =/= 0. Aber egal. Hm, mit Gleichungssystemen haben wir in diesem Zusammenhang noch gar nicht gearbeitet. Inwiefern funktioniert dies? |
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| 03.10.2011, 22:01 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein auch mit hat das nichts zu tun. Hmm ohne die Kenntnis über das Lösen von linearen Gleichungssystem wirst du hier nicht weit kommen. Es sei denn man geht über den Ansatz f(x)=a(x-2)²(x+1), wo man dann nur noch den Punkt P(0|2) einsetzen muss um an den Wert für a zu kommen und somit ein Gleichungssystem vermieden wird. Ob das aber Sinn der Sache bei dieser Aufgabe ist bzw ob ihr schon etwas über "doppelte Nullstellen" gehört habt, das kann ich nicht wissen.
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| 03.10.2011, 22:08 | Schnupfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ist (2|0) nicht eine Wendestelle? Soweit ich weiß ist die notwendige Bedingung dafür doch f''(x) = 0 und die hinreichende f'''(x) =/= 0? Mindestens eine von beiden müsste da doch allgemeingültig sein. 
Naja, ich seh mir mal an wie das mit den Gleichungssystemen funktioniert. Wahrscheinlich haben wir das mal vor Urzeiten gemacht und jetzt wird erwartet, dass man das so anwenden kann... |
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| 03.10.2011, 22:21 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stellen sind immer nur einzelne Koordinaten. Das ist ein Punkt, und zwar der Berührpunkt mit der x-Achse. Und da die x-Achse hier berührt wird, muss auch die Steigung an der Stelle x=2 null sein, wie du richtig angemerkt hast. Folglich muss dann hier auch ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) vorliegen. Insofern kann es ja dann nicht gleichzeitig auch noch an derselben Stelle einen Wendepunkt geben. Die allgemeinen Bedingungen für einen Wendepunkt sind schon richtig, wie du sie schreibst. Nur liegt ein solcher eben in x=2 nicht vor.
Vielleicht verwirrt dich auch nur die Bezeichnung "Gleichungssystem". Gemeint sind einfach nur mehrere Gleichungen oder kurz ein System von Gleichungen, welches aus deinen korrekt bestimmte Bedingungen resultiert: f(0)=2 <=> d=2 f(-1)=0 <=> -a+b-c+2=0 usw Diese ganzen Gleichungen zusammen ergeben ein so genanntes lineares Gleichungssystem, welches es zu lösen gilt. Du sprachst vorhin irgendwas von einsetzen oder ersetzen an. Kann man auch machen aber in der Regel benutzt man hier das Additions- oder Gaußverfahren. Im Groben versucht man immer nur bestimmte Gleichungen so miteinander zu "verrechnen", so dass an einer bestimmten Stelle eine Variable wegfällt. Kommt dir das bekannter vor ? |
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| 03.10.2011, 22:51 | Schnupfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, gut. Da hab ich einfach mal den Begriff des Wendepunktes irgendwie total verwechselt. XD Aber jetzt ist der Groschen gefallen. Ist manchmal einfacher als es aussieht. ^^''' f(x) = 0,5x³ - 1,5x² + 2 hab ich raus. ^^ |
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| 03.10.2011, 23:01 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sieht gut aus. 
Habe dir in der Skizze auch mal den Wendepunkt eingetragen, um dir nochmal zu verdeutlichen was das genau war. Wie man sieht ist der Graph vor der Stelle x=1 rechtgekrümmt (Rechtskurve) und danach linksgekrümmt (Linkskurve). Die Stelle wo diese Krümmungsart wechselt, nennt man Wendestelle. An dieser Stelle ist deshalb die Krümmung kurzzeitig null und da die 2. Ableitung die Krümmung des Graphen an einer bestimmten Stelle angibt, lautet der Ansatz für Wendestellen immer f''(x)=0. |
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| 03.10.2011, 23:08 | Schnupfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar
Habe einfach nur Wendestellen mit Extremstellen gleichgesetzt, eigentlich ziemlich blöd.. ^^'' Aber naja, kommt vor. Danke schön! 
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| 03.10.2011, 23:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte sehr, viel Erfolg weiterhin. 
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