Grenzwert mit Summenzeichen

03.10.2011, 23:07

joakim

Grenzwert mit Summenzeichen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Bei folgender Aufgabe fehlt mir der Ansatz, der zur Lösung führt. Als erstes mal zur Aufgabe...

Man solle folgenden Grenzwert ausrechen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (1+\frac{3}{n})^{2k} \end{eqnarray*}$

Vom Rechner kenne ich die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{6}}{6}-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist das Summenzeichen. Ich bin mir unsicher was erlaubt ist und was nicht. Muss ich das Limes hinter das Summenzeichen bringen?

Meine Ideen:
Mir ist bekannt dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{3}{n})^{n}=e^3 \end{eqnarray*}$

In der Aufgabe steht statt n ein k, welches aber wie n nach unendlich strebt. Deshalb macht das e^6 auch Sinn für mich. Ich bin dankbar um jeden Tipp, die Antwort darauf eilt nicht.

03.10.2011, 23:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Summe einfach loswerden. Das ist doch eine geometrische Summe.

04.10.2011, 09:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert mit Summenzeichen

Zitat:

Original von joakim
In der Aufgabe steht statt n ein k, welches aber wie n nach unendlich strebt.

Vielleicht ist daher dieses gemeint: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (1+\frac{3}{k})^{2k} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, konvergiert die Summe gegen $\begin{eqnarray*} e^6 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert mit Summenzeichen

Verwandte Themen