Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration

03.10.2011, 23:20

Luppi

Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration

Meine Frage:
Wie kommt man durch Integration der Funktion v(s)= (2g*s)^(1/2) (Geschwindigkeit eines frei fallenden Gegenstandes)
zum Weg-Zeit-Gesetz in der Form:
s(t)= 1/2*g*t^2 ?

Meine Ideen:
Ich habe versucht die Ausgangsgleichung zu integrieren, dabei bekomme ich ja aber nur eine Gleichung mit der Variablen "s", jedoch nicht mit t.

Die "normale" Gleichung für die Geschwindigkeit lautet ja v= g*t, wenn ich mit dieser arbeite und sie integriere komme ich auch auf die Stammfunktion F(t)= 1/2*g*t^2.
Dies beweist ja den Zusammenhang, nur kann ich diesen nicht nachvollziehbar und im Sinne der Aufgabenstellung darstellen.

So sehr ich auch hin und her rechne und versuche die Gleichungen miteinander zu verknüpfen: Ich schaffe es nicht den Zusammenhang herzuleiten und stehe auf dem Schlauch.

Wäre sehr dankbar für eine Hilfestellung!

(Entschuldigt die Darstellung ohne Formeleditor, ich stelle hier zum ersten mal eine Frage und bin mit dem System noch nicht so vertraut.)

04.10.2011, 09:20

klarsoweit

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RE: Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration

Zitat:

Original von Luppi
Die "normale" Gleichung für die Geschwindigkeit lautet ja v= g*t, wenn ich mit dieser arbeite und sie integriere komme ich auch auf die Stammfunktion F(t)= 1/2*g*t^2.

Bevor du mit Stammfunktionen hantierst, solltest du erstmal ein Integral hinschreiben. In diesem Fall wäre die Strecke das Integral über die Geschwindigkeit in den passenden Grenzen.

04.10.2011, 10:36

Sirlupp

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RE: Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration
Ja das unbestimmte Integral ist die Strecke über die Geschwindigkeit (Ausgangsgleichung). Wenn ich jedoch die Stammfunktion zu v(s)= (2g*s)^1/2 bilden will, komme ich lediglich auf eine Funktion mit der Variablen s, nicht mit t.

Wie stelle ich nun diese Verknüpfung her?

04.10.2011, 10:49

klarsoweit

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RE: Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration

Zitat:

Original von Sirlupp
Ja das unbestimmte Integral ist die Strecke über die Geschwindigkeit (Ausgangsgleichung).

Nein, das bestimmte Integral über die Geschwindigkeit liefert die Strecke.

Zitat:

Original von Sirlupp
Wenn ich jedoch die Stammfunktion zu v(s)= (2g*s)^1/2 bilden will

Warum willst du das tun? Nur das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit liefert die Strecke.

PS: bist du jetzt Luppi?

04.10.2011, 11:04

Sirlupp

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RE: Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration
Ja, ich bin Luppi.

Nun, hier liegt mein Problem und meine Frage. In der Aufgabenstellung steht, dass man durch Integration, also durch Bilden der Stammfunktion zu v(s), zum Weg-Zeit-Gesetz in der Form s(t) kommt.

Jedoch liefert nur das Integral von v(t), also g*t die Funktion für die Strecke in Abhängigkeit zur Zeit.

Ich muss doch das unbestimmte Integral berechnen, da ja eine allgemeine Funktion s(t) und nicht der bestimmte Flächeninhalt, sprich eine bestimmte Strecke gesucht ist, oder?

04.10.2011, 11:21

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RE: Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes durch Integration

Zitat:

Original von Sirlupp
Ich muss doch das unbestimmte Integral berechnen, da ja eine allgemeine Funktion s(t) und nicht der bestimmte Flächeninhalt, sprich eine bestimmte Strecke gesucht ist, oder?

Nun ja. Also es ist erstmal $\begin{eqnarray*} s(t) = \int_{t_0}^t v(T)~dT \end{eqnarray*}$ , und das ist ein bestimmtes Integral. Sofern aufgrund geschickter Normierungen das v(t_0)=0 ist, läuft das mit der physiker-eigenen Schlampigkeit auf ein unbestimmtes Integral hinaus.

Zitat:

Original von Sirlupp
In der Aufgabenstellung steht, dass man durch Integration, also durch Bilden der Stammfunktion zu v(s), zum Weg-Zeit-Gesetz in der Form s(t) kommt.

Damit sind wir an dem Punkt, wo du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut posten solltest

Zitat:

Original von Sirlupp
Ja, ich bin Luppi.

Und warum registrierst du dich ein zweites Mal? verwirrt

04.10.2011, 12:28

Sirlupp

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Ja, ich habe jetzt mal normierte Bedingungen angenommen um die Aufgabe zu vereinfachen. Ich gehe also von einem unbestimmten Integral aus.

Den exakten Wortlaut der Aufgabenstellung habe ich in der Frage bereits genannt.

Ich war zunächst nur als Gast registriert, deshalb habe ich mich nun noch einmal als offizieller Benutzer registriert.

Doch wie komme ich jetzt weiter?
Ich möchte das Integral der geschwindigkeit über Zeit berechnen, jedoch ist ja nur die Funktion v(s) gegeben?

04.10.2011, 14:08

Ehos

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Du willst die Differenzialgleichung $\begin{eqnarray*} \dot s^2=2gs \end{eqnarray*}$ mit konstantem g lösen. Betrachte die neue Variable $\begin{eqnarray*} s=y^2 \end{eqnarray*}$ , woraus durch Ableiten folgt $\begin{eqnarray*} \dot s=2y\dot y \end{eqnarray*}$ . Ersetze damit in der Dgl. die Größen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot s \end{eqnarray*}$ . Das ergibt $\begin{eqnarray*} 4y^2 {\dot y}^2=2gy^2 \end{eqnarray*}$ . Vereinfachen liefert die Dgl. $\begin{eqnarray*} \dot y(t)=\sqrt{\tfrac{g}{2}} \end{eqnarray*}$ . Integration liefert $\begin{eqnarray*} y(t)=\sqrt{\tfrac{g}{2}}\cdot t \end{eqnarray*}$ . Quadriere dies und kehre durch Rücksubstitution $\begin{eqnarray*} y^2=s \end{eqnarray*}$ zur alten Variablen s zurück. Das ergibt das gewünschte Weg-Zeit-Gesetz $\begin{eqnarray*} s=\tfrac{g}{2}t^2 \end{eqnarray*}$ der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

04.10.2011, 22:47

Sirlupp

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Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht. Wieso kann ich y^2=s ausdrücken?
Wo kommt die Variable y nun her?
Ich kann leider nicht ganz folgen.

05.10.2011, 08:26

klarsoweit

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Das ist doch nur eine simple Substitution. Es gibt es eine Funktion y(t), so daß eben $\begin{eqnarray*} (y(t))^2 = s(t) \end{eqnarray*}$ ist.

05.10.2011, 19:59

Sirlupp

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Verstehe trotzdem nicht, wieso man auf einmal y^2= s ausdrücken kann. Durch welchen Zusammenhang wird das deutlich, woraus geht das hervor und was ist überhaupt y?
Kann den Weg leider gerade absolut nicht nachvollziehen, oder stehe auf dem Schlauch.

05.10.2011, 20:07

René Gruber

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Zitat:

Original von Sirlupp
und was ist überhaupt y?

Das hat Ehos doch gesagt:

Zitat:

Original von Ehos
Betrachte die neue Variable $\begin{eqnarray*} s=y^2 \end{eqnarray*}$

oder anders formuliert: Basierend auf dem Weg s wird die neue Variable $\begin{eqnarray*} y:=\sqrt{s} \end{eqnarray*}$ definiert. Mehr gibt's zur Definition von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht zu sagen.

------------------------

Wenn dir das partout widerstrebt, kannst du ja auch die Original-DGL

$\begin{eqnarray*} \dot s=\sqrt{2gs} \end{eqnarray*}$

durch Trennung der Variablen direkt lösen, ohne das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.10.2011, 20:31

Sirlupp

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Wieso gilt denn y^2= s? Ich habe überhaupt keinen Anhaltspunkt woran ich das verstehen soll. Kann jemand das mal für Blöde erklären?
Für mich sieht es gerade so aus als ob dieser Ausdruck einfach da ist, wobei ich nicht weiß wo er her kommt und zu welchem Zweck ich das so ausdrücken kann.

05.10.2011, 23:18

René Gruber

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Da du dich im Kreis drehst und nicht begreifen willst, dass man einfach $\begin{eqnarray*} y:=\sqrt{s} \end{eqnarray*}$ definieren kann, womit für dieses solchermaßen definierte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann natürlich $\begin{eqnarray*} y^2=s \end{eqnarray*}$ gilt, dann befolge doch meinen Rat:

Zitat:

Original von René Gruber
Wenn dir das partout widerstrebt, kannst du ja auch die Original-DGL

$\begin{eqnarray*} \dot s=\sqrt{2gs} \end{eqnarray*}$

durch Trennung der Variablen direkt lösen, ohne das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Ist wohl besser für uns alle, die zunehmend den Kopf schütteln über so viel Unverständnis.

06.10.2011, 12:58

sergej88

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Hallo,

da ich glaube, dass hier keiner mehr das mit der Definition erklären wird, versuche ich mal mein Glück.

Da ich glaube, dass du Sirlupp eher Physiker bist? versuche ich dir das damit zu motivieren.

Grundlegend erstmal ist $\begin{eqnarray*} y := \sqrt{s} \end{eqnarray*}$ nur eine Definition, das heisst man definiert eine neue Funktion y, eben durch die obige Vorschrift. Sowas kann man immer tuen, verbietet ja keiner.

Der Grund dafür ist, dass sich mit soclhen oder anderen Definitionen Gleichungen vereinfachen lassen, es ist also, zumindest hier, nur mittel zum Zweck.

In der theo. Physik hat man zu Beginn aber auch mit vielen Definitionen zu tun. So muss man je nach Axiomensystem für klassiche Mechanik Begriffe wie Beschleunigung, Kraft, Masse etc. definieren.
Geschwindigkeit wird als Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.
Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit usw.
Damit ist das nur eine Namensgebung, welche alles einfacher macht. Zeichnet sich diese Namensgebung iwie später besonders aus, so suchen Physiker in dieser neuen Größe dann auch nach einer Interpretation.

Als Beispiel die Energie.
Betrachten wir ein einzelnes Teilchen mit Masse $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und Ortsvektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Auf dieses wirke eine Kraft der Form $\begin{eqnarray*} F = F(x) \end{eqnarray*}$ , diese ist also weder von der Zeit abhängig, noch von der Geschwindigkeit des Teilchens (zum Beispiel Schwerkraft). Dann haben wir ja mit dem Newtonschen Axiomen
$\begin{eqnarray*} m\frac{d^2x(t)}{d^2t} = ma(t) = F(x(t)) \end{eqnarray*}$
als Differentialgleichung für die Bewegung zu lösen.
Jetzt nehme ich der einfach halber an, dass die Kraft eine Potentialkraft ist, also $\begin{eqnarray*} - V'(x) = F(x) \end{eqnarray*}$
und erhalte die Bewegungsgleichung
$\begin{eqnarray*} m\frac{d^2x(t)}{d^2t} = ma(t) = -V'(x(t)) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt stellen wir fest, dass gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left ( \frac{m}{2}v(t)^2 + V(x(t)) \right) = \frac{m}{2}2a(t)v(t) + v(t)V'(x(t)) = v(t)( ma(t) + V'(x(t))) = 0 \end{eqnarray*}$
für jedes t. Also ist diese neue Gröse
$\begin{eqnarray*} E:= \frac{m}{2}v(t)^2 + V(x(t)) \end{eqnarray*}$ konstant, bzw. erhalten.
Man stellt fest dass diese wichtig ist und definiert sie wie oben als Energie. Und fragt sich erst dann nach einer Interpretation dieser neuen Grösse, welche ebenfalls als Hilfsmittel zum lösen der Bewegungsgleichungen benutzt werden kann.

Diese Betrachtungen lassen sich verallgemeinern und führen zum Beispiel zum Noetherschen Theorem.

mfg

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