komplexe Reihe

30.12.2006, 15:23

lonesome-dreamer

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komplexe Reihe

Hallo,
folgende komplexe Reihe ist auf Konvergenz zu untersuchen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} {\frac{i^k}{k}} \end{eqnarray*}$

Eine Reihe ist ja konvergent mit einem Grenzwert s, wenn die Folge der Partialsaummen gegen s konvergiert.

Nur, wie bekomm ich hier eine Partialsumme raus?

Gruß
Natalie

30.12.2006, 16:53

Leopold

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Ein komplexe Reihe ist insbesondere genau dann konvergent, wenn ihr Real- und ihr Imganärteil simultan konvergieren. Trenne daher die Reihe entsprechend. Beachte

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = 1 \ \ \mbox{für} \ \ k \in \left\{ 0 , 4 , 8 , 12 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = \operatorname{i} \ \ \mbox{für} \ \ k \in \left\{ 1 , 5 , 9 , 13 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = -1 \ \ \mbox{für} \ \ k \in \left\{ 2 , 6 , 10 , 14 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = - \operatorname{i} \ \ \mbox{für} \ \ k \in \left\{ 3 , 7 , 11 , 15 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

EDIT

Das falsche $\begin{eqnarray*} i \in \ldots \end{eqnarray*}$ durch das richtige $\begin{eqnarray*} k \in \ldots \end{eqnarray*}$ ersetzt

30.12.2006, 17:06

lonesome-dreamer

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Ok, das klingt so weit alles plausibel, aber ich weiß nicht, wie das dann als Summe aufgeschrieben werden soll, so dass man den Grenzwert ermitteln kann.

30.12.2006, 17:25

therisen

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = 1 \ \ \mbox{für} \ \ i \in \left\{ 0 , 4 , 8 , 12 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = \operatorname{i} \ \ \mbox{für} \ \ i \in \left\{ 1 , 5 , 9 , 13 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = -1 \ \ \mbox{für} \ \ i \in \left\{ 2 , 6 , 10 , 14 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^k = - \operatorname{i} \ \ \mbox{für} \ \ i \in \left\{ 3 , 7 , 11 , 15 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

Leopold meint natürlich "für k ..."

Für den Realteil erhält man so $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

30.12.2006, 17:33

lonesome-dreamer

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Zitat:

Für den Realteil erhält man so $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf?

30.12.2006, 17:34

therisen

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Schreibe dir mal die ersten 10 Glieder deiner Reihe auf, spätestens dann solltest du es nachvollziehen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

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30.12.2006, 18:29

Leopold

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Zitat:

Original von therisen
Leopold meint natürlich "für k ..."

Du kannst ja schon Gedanken lesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2006, 12:01

lonesome-dreamer

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Ich habe jetzt zuerst mal den Realteil $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k} \end{eqnarray*}$ betrachtet:
Um den Grenzwert zu ermitteln, habe ich das Leibnizkriterium benutzt, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}{\frac{(-1)^k}{2k}}=0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich versucht, das gleiche beim Imaginärteil zu machen und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{i^{2k-1}}{2k-1}} \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das so stimmt.
Und wenn doch, wie ermittelt man dann da den Grenzwert? Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ stört mich irgendwie.

31.12.2006, 12:09

therisen

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Um den Grenzwert zu ermitteln, habe ich das Leibnizkriterium benutzt, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}{\frac{(-1)^k}{2k}}=0 \end{eqnarray*}$

Das ist Quatsch. Das Leibnizkriterium liefert dir nicht den Grenzwert, sondern kann dir sagen, ob die Reihe konvergiert (und ja, es ist hier anwendbar, aber was du gemacht hast, ist mir schleierhaft).

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Nun habe ich versucht, das gleiche beim Imaginärteil zu machen und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{i^{2k-1}}{2k-1}} \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das so stimmt.
Und wenn doch, wie ermittelt man dann da den Grenzwert? Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ stört mich irgendwie.

So so, dein Imaginärteil ist also komplexwertig. Interessant Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

31.12.2006, 12:20

lonesome-dreamer

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Zitat:

Das ist Quatsch. Das Leibnizkriterium liefert dir nicht den Grenzwert, sondern kann dir sagen, ob die Reihe konvergiert (und ja, es ist hier anwendbar, aber was du gemacht hast, ist mir schleierhaft).

Ja, sorry, ich meinte nicht den Grenzwert, sondern die Konvergenz.
Und was ich da gemacht habe, ist folgendes:
Erst einmal überprüft, ob es sich um eine alternierende Reihe handelt.
Das passt, wegen $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ geht monoton fallend gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert die Reihe.

Zitat:

So so, dein Imaginärteil ist also komplexwertig. Interessant

Ups, da hab ich wohl bisschen doppelt gemoppelt. Der Imaginärteil beinhaltet ja das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gar nicht.

31.12.2006, 12:25

therisen

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Und was ich da gemacht habe, ist folgendes:
Erst einmal überprüft, ob es sich um eine alternierende Reihe handelt.
Das passt, wegen $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ geht monoton fallend gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert die Reihe.

Nein, das hast du weiter oben nicht gemacht. Aber deine Ausführungen sind so korrekt Freude

Freude

31.12.2006, 14:37

lonesome-dreamer

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Ok. Und beim Imaginärteil ist es ja dann im Prinzip dasselbe.
Konvergenz auch gegen 0.
Und somit konvergieren beide Teile gegen 0, also konvergiert die Reihe.
Richtig?

31.12.2006, 14:38

therisen

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Nein. Warum sollte eine Leibnizreihe automatisch den Wert Null haben??

31.12.2006, 14:42

lonesome-dreamer

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Weiter oben hat doch Leopold das geschrieben:

Zitat:

Ein komplexe Reihe ist insbesondere genau dann konvergent, wenn ihr Real- und ihr Imganärteil simultan konvergieren.

Und genau das trifft ja bei meinem Real- und Imaginärteil zu. Beide konvergieren. Also konvergiert die Reihe.

31.12.2006, 14:45

therisen

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Ja. Das hast du aber nicht gesagt. Du hast gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Ungenauigkeiten in der Formulierung hast du auch hier deutlich zu Tage gefördert.

Gruß, therisen

31.12.2006, 14:51

lonesome-dreamer

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Und wie bestimme ich dann den Grenzwert der Reihe?

31.12.2006, 14:57

therisen

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Indem du u.a. mit dem Logarithmus Naturalis arbeitest.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k} &= -\frac{\ln 2}{2} \\ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} &= \frac{\pi}{4} \end{align} \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Viel Spaß beim Nachweis Big Laugh

Big Laugh

Gruß, therisen

31.12.2006, 15:00

lonesome-dreamer

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Ok, dann bin ich ja mal froh, dass das in der Aufgabenstellung nicht verlangt war. geschockt

geschockt

Vielen Dank für deine Hilfe

Gruß
Natalie

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