Termumformung Konvergenzuntersuchung

04.10.2011, 10:07

Mathegeplagter

Termumformung Konvergenzuntersuchung

Hallo zusammen,

ich verzweifele momentan an folgender Übungsaufgabe. Wir sollen sie auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} a_{k}= \frac{3+4^{k} }{5^{k} } \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist ja die Anwendung des Quotientenkriteriums:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{k+1} }{a_{k} } | \end{eqnarray*}$

Setzt man dies ein, erhält man, wenn man dazu auch noch den Doppelbruch mithilfe des Kehrbruchs multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3+4^{k+1})*5^{k} }{5^{k+1}*(3+4^{k}) } \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich noch klar gekommen. Die weitere Umformung ist mir allerdings nicht ersichtlich.

Da dies eine Übungsaufgabe ist, ist die Lösung vorhanden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left(4-\frac{9}{3+4^{k} } \right) \end{eqnarray*}$

Daher meine Frage, wie ich den Term auflösen muß, damit obige Form dabei heraus kommt. Schon mal vielen Dank für Eure Hilfe.

Gruß

04.10.2011, 10:12

klarsoweit

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung
Was hat dich bewogen das Quotientenkriterium in Erwägung zu ziehen? Sollen etwas die a_k aufsummiert werden oder geht es nur um die a_k als Folge?

Übrigens heißt es "Term". Es geht da nicht um (Warmwasser-) Thermen.

04.10.2011, 10:17

ollie3

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung
hallo mathegeplagter,
glaube ich kann dir helfen. Du hast bisher alles richtig gemacht. Du kannst jetzt
den bruch, bei dem du stehen geblieben bist, durch 5^k kürzen, dann das
1/5 vor den bruch ziehen, und dann bist du fasst schon fertig. smile

04.10.2011, 10:26

Mathegeplagter

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Hallo,

es geht in diesem Fall um $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ als Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$

Diese soll laut Aufgabenstellung auf Konvergenz untersucht werden.

04.10.2011, 10:39

René Gruber

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Mit einem gewissen offenen Blick für Strukturen und ein wenig Kenntnis der Potenzgesetze lässt sich die ganze mühevolle Rechnerei vermeiden: Es ist

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{3}{5^k} + \frac{4^k}{5^k} = 3\cdot \left( \frac{1}{5} \right)^k + \left( \frac{4}{5} \right)^k \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man die besagte Reihe als Summe zweier geometrischer Reihen darstellen, womit man praktischerweise auch gleich den Reihenwert bestimmen kann.

04.10.2011, 10:59

Mathegeplagter

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung

Zitat:

Original von ollie3
hallo mathegeplagter,
glaube ich kann dir helfen. Du hast bisher alles richtig gemacht. Du kannst jetzt
den bruch, bei dem du stehen geblieben bist, durch 5^k kürzen, dann das
1/5 vor den bruch ziehen, und dann bist du fasst schon fertig. smile

Hallo Ollie3,

wenn ich gegen $\begin{eqnarray*} 5^{k} \end{eqnarray*}$ kürze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3+4^{k+1} }{5*\left(3+4^{k} \right) } \end{eqnarray*}$

welches man auch als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left(\frac{3+4^{k+1} }{3+4^{k} } \right) \end{eqnarray*}$

darstellen kann.

Richtig?

04.10.2011, 11:04

ollie3

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung
hallo mathegeplagter,
ja, genauso ist es. smile

04.10.2011, 11:12

klarsoweit

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung

Zitat:

Original von Mathegeplagter
wenn ich gegen $\begin{eqnarray*} 5^{k} \end{eqnarray*}$ kürze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3+4^{k+1} }{5*\left(3+4^{k} \right) } \end{eqnarray*}$

welches man auch als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left(\frac{3+4^{k+1} }{3+4^{k} } \right) \end{eqnarray*}$

darstellen kann.

Was soll die ganze Rechnung? Halte dich an dem Tipp von René und du bist in Null-Komma-Nix fertig.

04.10.2011, 11:16

René Gruber

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@klarsoweit

Keine Vorschriften - wer nicht will, der lässt es eben bleiben. Man ist ja nicht verpflichtet, den einfachsten Weg zu gehen. Augenzwinkern

04.10.2011, 11:25

Mathegeplagter

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung

Zitat:

Original von klarsoweit

Was soll die ganze Rechnung? Halte dich an dem Tipp von René und du bist in Null-Komma-Nix fertig.

Ich versuche die Zwischenschritte, die unser Prof angegeben hat, nachzuvollziehen. Ich weiß nicht, woran es liegt. Aber diesmal habe ich einfach eine gedankliche Barriere.

Ich kann mir momentan nicht erklären, wie er von

$\begin{eqnarray*} \frac{(3+4^{k+1})*5^{k} }{5^{k+1}*(3+4^{k}) } \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{12+4^{k+1}-9 }{5*(3+4^{k}) } \end{eqnarray*}$

welcher dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left(4-\frac{9}{3+4^{k} } \right) \end{eqnarray*}$

gekürzt wurde.

@René: Trotzdem danke für den Tipp

04.10.2011, 11:38

ollie3

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RE: Thermumformung Konvergenzuntersuchung
hallo mathegeplagter,
den rest kann ich dir gerne erklären: nachdem du das 1/5 aus dem bruch
herausgezogen hast, kannst du den bruch durch polynomdivision berchnen,
also (4^(k+1) +3) : (4^k +3), und dann erhälst du das gewünschte ergebnis,
was auch dein prof hat.
gruss ollie3

04.10.2011, 12:28

Mathegeplagter

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ollie3

Vielen Dank,

jetzt habe ich es verstanden, wie er dahin gekommen ist.

Auch vielen Dank an die anderen. Den Tipp merke ich mir auf jeden Fall für das Mathetestat. Ich bin schon gespannt, mit welchen Aufgaben wir dort traktiert werden.

Gruß

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