Basis für VR von Abbildungen von R nach R mit ...

Neue Frage »

MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »
Basis für VR von Abbildungen von R nach R mit ...
Meine Frage:
Huhu,
ich möchte eine Basis für den Vektorraum
{f in Abb(R,R): f(x)=0 bis auf endlich viele x in R}
angeben.

Meine Ideen:
Leider, habe ich keine Ahnung wie eine Basis in diesem Falle aussehen kann, schließlich kann eine Abbildung von R nach R so ziemlich alles sein.
zB f(1):= 2, f(x) := 0 f.a. x in R \ {1}

Für einen Hinweis in welche Richtung ich hier gehen muss wäre ich sehr dankbar smile

Grüße!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss gar nicht kompliziert denken für eine Basis. Für jeden Basisvektor gilt natürlich auch, dass er nur an endlich vielen Stellen auf Werte ungleich 0 abbildet. Wenn Du dir jetzt mal die kanonische Einheitsbasis des R^n anschaust, wie könnte man das auf Funktionen erweitern?
MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man muss gar nicht kompliziert denken für eine Basis. Für jeden Basisvektor gilt natürlich auch, dass er nur an endlich vielen Stellen auf Werte ungleich 0 abbildet. Wenn Du dir jetzt mal die kanonische Einheitsbasis des R^n anschaust, wie könnte man das auf Funktionen erweitern?


Man betrachtet die Bilder der Vektoren der Basis.

Aber in diesem Fall ist n = 1, also ist die kanonische Einheitsbasis wohl { (1) } Big Laugh
Für jedes f in dem VR gilt f(x) = 0 ffa x in R.
Wenn ich nun also f(1) betrachte... joa.. verwirrt

Da es sich hier um den VR aller Abbildungen mit genannter Eigenschaft handelt,
müsste es doch nun Abbildungen geben, die den Basis"vektor" auf 0,
aber auch welche die diesen auf ein anderes Element aus R abbilden...

Argh.. es ist bestimmt gaaanz einfach und ich verstehe die Aufgabenstellung nicht richtig (wie so oft ^^)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basisvektoren sind ebenfalls Funktionen die nur an endlich vielen Stellen ungleich 0 sind.

Überlege Dir zu nächst folgendes :

Was ist eine Linearkombination von Funktionen ?

Dann ist dir auch sofort klar wie die Basisvektoren zu wählen sind.

Zitat:
Aber in diesem Fall ist n = 1, also ist die kanonische Einheitsbasis wohl { (1) }


Über die Dimension machst Du dir Gedanken wenn Du die Basis gefunden hast. Anders macht es keinen Sinn, denn die Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren. Und als Hinweis , es gibt mehr als einen.
MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist eine Linearkombination von Funktionen ?

Eine gewichtete Summe. f = a g + b h + ...

Also betrachte ich eine Familie von Vektoren des VR, so dass ich jedes Element des VR linear aus Elementen dieser Familie erzeugen kann.
Nun kombiniere ich mir dadurch lediglich den Funktionswert an den Stellen, an denen die Elemente dieser Familie ungleich 0 sind. Demnach müsste in der Basis für jeden Wert x eine Funktion sein, die an dieser Stelle ungleich 0 ist, also überabzählbar viele geschockt

Oder man kann die Stellen an der eine Funktion ungleich 0 ist einfacher kombinieren, aber ich check gerad nicht wie das gehen soll...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Da Mazze gerade nicht da ist: eine Linearkombination ist eine endliche "gewichtete Summe".
Zitat:
Nun kombiniere ich mir dadurch lediglich den Funktionswert an den Stellen, an denen die Elemente dieser Familie ungleich 0 sind. Demnach müsste in der Basis für jeden Wert x eine Funktion sein, die an dieser Stelle ungleich 0 ist, also überabzählbar viele geschockt

Stimmt genau. Eine Basis kann durchaus unendlich viele Vektoren enthalten. Wichtig ist nur, dass man nur endiche Summen bildet.
Da die Funktionen im betrachteten Vektorraum aber nur an endlich viele Stellen ungleich Null sind, ist das kein Problem.

Kannst du nun explizit eine Basis hinschreiben?
 
 
MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis besteht aus Elementen des VR, so dass es zu jedem x in R genau ein Basiselement mit b(x) ungleich 0 gibt.

Hm.. wie schreibe ich das besser?

verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere ,

wie kannst Du mit diesen Funktionen eine Basis formulieren ?
MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »

Bin zwar ziemlich müde, aber mir fällt dazu spontan ein


gute nacht Wink
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wäre natürlich zu beweisen dass die Menge linear Unabhängig ist, und den Raum erzeugt smile (und natürlich ist vorher zu zeigen, dass diese Funktionen zum Vektorraum gehören, das kriegt man aber sehr leicht hin)

Überlege dazu genau was lineare Abhängigkeit im Hinblick auf unendlich viele Basisvektoren bedeutet.
MultipleChoice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt wäre natürlich zu beweisen dass die Menge linear Unabhängig ist, und den Raum erzeugt smile


Lineare Unabhängigkeit:
Das sich für die Gleichung

lediglich die triviale Lösung ergibt,
ist klar, so fern die paarweise verschieden sind.
(Mir ist nicht ganz klar ob das bei meiner obigen Formulierung von gestern abend so eindeutig ist..)

Erzeugendensystem:
puuuh wo fange ich hier an? smile
Das sich jede Funktion aus dem VR durch diese Familie erzeugen lässt, "sieht man doch" ist ja stets eine eher mangelhafte begründung Big Laugh

Durch die lineare Kombination von Funktionen dieser Familie, kann man sich offensichtlich beliebige Funktionen zusammenkombinieren. Schließlich bestimmt man quasi für jeden Wert von x den Funktionswert durch diese Kombination.
Da mich jester. freundlicher Weise darauf hingewiesen hat, dass eine solche Linearkombination eine endliche Summe ist, ist die Bedingung (f(x)=0 bis auf endlich viele x) für den VR erfüllt und ich kann jede Funktion des Raumes aus Elementen der Familie kombinieren.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
lediglich die triviale Lösung ergibt, ist klar, so fern die paarweise verschieden sind.


Achte genau darauf wann eine Menge von unendlich vielen Vektoren linear Unabhängig ist. Schau Dir mal die Definition an! Man muss etwas beachten (im Gegensatz zu endlich vielen).

Zitat:
Durch die lineare Kombination von Funktionen dieser Familie, kann man sich offensichtlich beliebige Funktionen zusammenkombinieren. Schließlich bestimmt man quasi für jeden Wert von x den Funktionswert durch diese Kombination. Da mich jester. freundlicher Weise darauf hingewiesen hat, dass eine solche Linearkombination eine endliche Summe ist, ist die Bedingung (f(x)=0 bis auf endlich viele x) für den VR erfüllt und ich kann jede Funktion des Raumes aus Elementen der Familie kombinieren.


Naja, man muss es schon ordentlich formulieren. Ich nenne den Vektorraum mal X, sei

, dann gibt es Stellen an denen f ungleich 0 ist. Diese Stellen sind . Sprich es ist



Wie könnte man jetzt f wohl mit den Funktionen darstellen?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »