Eigenwerte berechnen

04.10.2011, 11:55

1234mathe

Eigenwerte berechnen

Meine Frage:
Hallo,
Die "normale" Vorgehensweise Eigenwerte über das char. Polynom zu berechnen ist mir bekannt. Nun war ich aber bisher auch immer der Meinung, dass in einer Oberen Dreiecksmatrix die Eigenwerte gleich auf der längsten Diagonalen abzulesen sind. (Also die Elemente der Spur der Matrix.)

Meine Ideen:
Nun die Frage: Geht dies nur bei Matrizen, die bereits die Form einer oberen Dreiecksmatrix haben oder kann ich andere Matrizen auch in diese Form bringen und die EW stimmen mit der rechnerischen Lösung über das char. Polynom überein?
Bisher bin ich davon ausgegangen. Eine Aufgabe, die ich gerade gerechnet habe, scheint mich aber eines Besseren zu belehren, da laut char. Polynom EW von 4, 1 und -1 rauskommen. Ich habe aber 1, 2 und -2 raus.
Die Matrix sieht wie folgt aus:

A=[v1, v2, v3]^T

mit v1=[1 2 3] ; v2=[0 2 1] ; v3=[0 6 1]

04.10.2011, 12:09

Mazze

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Ohne zu sehen was Du gerechnet hast ist es natürlich schwierig zu sehen was Du falsch gemacht hast. Der Gaußalgorithmus erhält die Eigenwerte bei Zeilenaddition. Wenn Du Zeilen vertauschst ändert sich die Determinante (vorzeichen) und die Eigenwerte .

04.10.2011, 12:13

1234mathe

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ich habe einfach nur die 3. Zeile minus 3*die zweite Zeile genommen. dann erhält man ja schon eine obere dreiecksmatrix. von daher habe ich nur addiert.

04.10.2011, 12:45

Mazze

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Nehmen wir also die Matrix :

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das char. Polynom ist

$\begin{eqnarray*} p_A(\lambda) & = & (1 - \lambda)^2(2 - \lambda) - 6(1 - \lambda) \\ & = & (1 - \lambda)[(1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6] \\ & = & (1 - \lambda)[ \lambda^2 -3\lambda - 4] \\ & = & (1 - \lambda)(-1 - \lambda)(4 - \lambda) \end{eqnarray*}$

Und man sieht die Nullstellen 1,-1,4. Und führt man den Gauß so wie Du aus haben wir

$\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinanten stimmen, denn 1 * 2 * -2 = 1 * -1 * 4. Insgesamt also sind die Eigenwerte nicht erhalten geblieben, der Gaußschritt war also keine Ähnlichkeitsumformung. Wieder was gelernt.

edit : Zusammengefasst :

A und A' sind nicht Ähnlich.

04.10.2011, 12:47

1234mathe

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Ja ^^ Ich finde das auch sehr überraschend!
Also ist jegliche Umformung scheinbar verboten?

04.10.2011, 12:52

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} A-tE \end{eqnarray*}$ vor Zeilenoperation
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-t & 2 &3 \\ 0& 2-t & 1 \\ 0& 6&1-t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und danach
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-t & 2 &3 \\ 0& 2-t & 1 \\ 0& -3t &-2-t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante von A hat sich hierbei nicht geändert. Beim char. Polynom kommts aber auf $\begin{eqnarray*} A-tE \end{eqnarray*}$ an.

Bin zwar ein Tick zu langsam; vielleicht hellts die Sache aber auf.

04.10.2011, 12:57

1234mathe

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was genau kann man aus deinen ausführungen folgern?

04.10.2011, 12:57

Mazze

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Zitat:

Also ist jegliche Umformung scheinbar verboten?

Man kann die Matrix durch Ähnlichkeitstransformation auf obere Dreiecksgestalt (sogar auf Diagonalgestalt) bringen. Für die Diagonalgestalt muss man dann aber die Eigenwerte schon kennen Augenzwinkern

04.10.2011, 13:00

1234mathe

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Okay ^^ Also mit anderen Worten ist das nicht gerade die perfekte Abkürzung Augenzwinkern

Dann dank ich euch!

04.10.2011, 13:03

Mazze

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Noch als Hinweis, und da geht dann auch galoisseinbruders Hinweis mit ein :

Die Matrix

$\begin{eqnarray*} A - tE \end{eqnarray*}$

darfst Du sehr wohl mit Gauß auf Dreiecksform bringen. Du darfst nur die Marix A vorher nicht Umformen. Und jetzt bin ich auch wieder im Reinen mit mir Big Laugh

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