Cayley-Hamilton |
| 04.10.2011, 15:54 | Jan1988 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Cayley-Hamilton Hallo zusammen! Ich habe zwei Fragen zum Satz von Cayley-Hamilton. Zuerst habe ich den Satz für Matritzen kennengelernt, sodass er besagt, dass Null rauskommt, wenn man die Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. Ok. Jetzt kam in der Vorlesung Folgendes: Für jeden Endomorphismus F eines n-dimensionalen Vektorraums V gilt charPol(F)=0. Das Minimalpolynom m(F) ist also ein Teiler von charPol(F). Meine Frage: 1. Warum darf man den Satz so einfach für Endomorphismen übernehmen. Ist hier gemeint, dass man einfach das charPol der Abbildungsmatrix als charPol des Endomorphismus verwenden darf? Und dass man dann auch die Abbildungsmatrix wieder in das charPol einsetzt, hier also als F? 2. Woher kommt die Folgerung, dass das Minimalpolynom das charPol teilt und wie wird sie begründet? Schon jetzt vielen Dank für eure Antworten!! :-) Meine Ideen: s.o. |
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| 04.10.2011, 16:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Es gibt einen (von einer Basis induzierten, das ist einfach der Prozess von einer Abbildung die Abbildungsmatrix anzugeben) Algebrenisomorphismus zwischen Endomorphismen und Matrizen. Daher werden die dadurch identifizierten Endomorphismen und Matrizen immer gleichzeitig von einem Polynom annuliert. Daher die Folgerung. 2. Das Minimalpolynom ist der eindeutig bestimmte normierte Erzeuger des Kerns des Einsetzhomomorphismus (Das ist immer ein Hauptideal). Und der Erzeuger eines Hauptideals teilt immer alle seine Elemente. |
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| 04.10.2011, 16:53 | Jan1988 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo tmo und danke für die schnelle Antwort! 
Ich verstehe soweit alles, auch den 2. Punkt. Nur der scheinbar so offenbare Zusammenhang zwischen dem, was du unter 2. erklärst und dem Satz von Cayley-Hamilton ist mir nach wie vor schleierhaft. Warum folgt das direkt aus dem Satz? Gruß, Jan |
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