Rentenumwandlung [war: Rentenrechnung - Need Help!!!]

30.12.2006, 16:38	Snorre	Auf diesen Beitrag antworten »
Rentenumwandlung [war: Rentenrechnung - Need Help!!!] Hy, sitz schon seit geraumer Zeit bei folgendem Beispiel: Jemand hat Anrecht auf eine sofort beginnende, zwanzigmal nachschüssig zahlbare Rente von €1000 jährlich. Er wünscht sich dafür eine nach vier Jahren beginnende, viermalige, jedes zweite Jahr fällige, vorschüssige Rente von €4000 und eine nach 12 Jahren beginnende, nachschüssige Monatsrente von €1000 (Zinssatz/Jahr: 4%). Wie oft kann er diese Monatsrente beziehen und wie groß ist die Restzahlung, fällig mit der letzten Vollrate? Also zuerst hab ich mir den Barwert für 20x nachschüssige Renten ausgerechnet (mein Ergebnis: € 13.590,33). Dieses Ergebnis hab ich dann auf 4 Jahre aufgezinst (ergibt € 15.898,76). Aber jetzt häng ich leider fest. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Wär echt super!! DANKE MFG Snorre
30.12.2006, 23:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Der Barwert und der Endwert nach 4 Jahren sind korrekt berechnet, wobei du letzteren nicht benötigst, wenn du den Zeit-Bezugspunkt an den Anfang der Zeitlinie setzst. Der Barwert (am Anfang der Zeitlinie) ist gleichzusetzen dem Barwert der 4 Auszahlungen zu je 4000.- plus dem Barwert von n Zahlungen zu je 1000.-, beginnend am Ende des 12. Jahres. Die 4 Zahlungen zu je 4000.- sind fällig am Ende des 4., 6., 8. und 10. Jahres. q = 1,04 (i = q - 1 = 0,04) $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} r_3 \end{eqnarray}$ = 1000.- $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ = 4000.- $\begin{eqnarray} B = \frac{r_1}{q^{20}} \cdot \frac{q^{20} - 1}{q - 1} = 13590,33 \end{eqnarray}$ Somit wird der Ansatz (bei Wahl des Zeit-Bezugspunktes am Anfang der Zeitlinie) zu $\begin{eqnarray} B = [\frac{r_2}{q^4} + \frac{r_2}{q^6} + .. + \frac{r_2}{q^{10}}] + [\frac{r_3}{q^{13}} + \frac{r_3}{q^{14}} + ... + \frac{r_3}{q^{12 + n}}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B - \frac{r_2}{q^{10}} \cdot \frac{q^8 - 1}{q^2 - 1} = [\frac{r_3}{q^{13}} + \frac{r_3}{q^{14}} + ... + \frac{r_3}{q^{12 + n}}] \end{eqnarray}$ Jetzt geht's nur noch um die Berechnung von n. Die Summe in der rechten eckigen Klammer besteht ja aus n Gliedern und ist demnach $\begin{eqnarray} \frac{r_3}{q^{13}} + \frac{r_3}{q^{14}} + ... + \frac{r_3}{q^{12 + n}} = \frac{r_3}{q^{12 + n}} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \end{eqnarray}$ Daraus ist nun $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{q^n} \end{eqnarray}$ zu isolieren: $\begin{eqnarray} \frac{r_3}{q^{12 + n}} \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{r_3}{q^{12}(q - 1)} \cdot \frac{q^n - 1}{q^n} = \frac{r_3}{q^{12}(q - 1)} \cdot (1 - \frac{1}{q^n}) \end{eqnarray}$ und wir erhalten $\begin{eqnarray} B - \frac{r_2}{q^{10}} \cdot \frac{q^8 - 1}{q^2 - 1} = \frac{r_3}{q^{12}(q - 1)} \cdot (1 - \frac{1}{q^n}) \end{eqnarray}$ Daraus ermitteln wir $\begin{eqnarray} q^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Um den Rechenaufwand geringer zu halten, ist es günstig, links für B den allgemein errechneten Term einzusetzen, danach ist einiges zu kürzen. Das muss aber nicht unbedingt so gemacht werden, man kann natürlich die Beträge ausrechnen und mit diesen weiterarbeiten. $\begin{eqnarray} \frac{r_1}{q^{20}} \cdot \frac{q^{20} - 1}{q - 1} - \frac{r_2}{q^{10}} \cdot \frac{q^8 - 1}{q^2 - 1} = \frac{r_3}{q^{12}(q - 1)} \cdot (1 - \frac{1}{q^n}) \end{eqnarray}$ Dein Werk muss es noch sein, die entsprechenden Werte einzusetzen und n zu ermitteln. Dieses wird im Allgemeinen nicht ganzzahlig sein, sodass nach Ablauf des ganzzahligen Anteils der Zeit die letzte Rate höher ausfallen wird. Auch deren Berechnung ist noch ein Teil der Aufgabe. [n = 2,36 ..., letzte Rate = ...] mY+ [Edit:] Zu dumm, erst jetzt habe ich gesehen, dass die letzte Rente eine Monatsrente sein soll, genauer lesen sollte man halt. Die Rechnung stimmt also nur für die Jahresrente $\begin{eqnarray} r_3 \end{eqnarray}$ , für monatliche Zahlung muss man den letzten Teil entsprechend etwas umbauen ... (äquivalenter monatlicher Zinsfaktor $\begin{eqnarray} q_m = \sqrt[12]{1,04} \end{eqnarray}$ ). Ich lass dich dennoch mal anfangen, schauen wir mal, wie weit du kommst ... editieren werd' ich's dann später noch.
31.12.2006, 09:39	Snorre	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey super danke! Werd mir das gleich mal anschauen!! Hoffe nur, ich kapiers gleich!!! MFG Snorre
31.12.2006, 10:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die letzte Rente monatlich ausbezahlt wird, muss der Ansatz geändert werden. Für den monatlichen äquvalenten Zinssatz $\begin{eqnarray} i_m \end{eqnarray}$ bei jährlicher Verzinsung $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (1 + i_m)^{12} = 1 + i \ \ \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_m = \sqrt[12]{q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_m = \sqrt[12]{1,04}=1,00327374 \end{eqnarray}$ ---------- Geänderter Ansatz (erste monatliche Rate nach 145 Monaten): $\begin{eqnarray} B = [\frac{r_2}{q^4} + \frac{r_2}{q^6} + .. + \frac{r_2}{q^{10}}] + [\frac{r_3}{q_m^{145}} + \frac{r_3}{q_m^{146}} + ... + \frac{r_3}{q_m^{144 + n}}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B - \frac{r_2}{q^{10}} \cdot \frac{q^8 - 1}{q^2 - 1} = [\frac{r_3}{q_m^{145}} + \frac{r_3}{q_m^{146}} + ... + \frac{r_3}{q_m^{144 + n}}] \end{eqnarray}$ Berechnung von n: $\begin{eqnarray} \frac{r_3}{q_m^{145}} + \frac{r_3}{q_m^{146}} + ... + \frac{r_3}{q_m^{144 + n}} = \frac{r_3}{q_m^{144 + n}} \cdot \frac{q_m^n - 1}{q_m - 1} \end{eqnarray}$ Daraus ist nun $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{q_m^n} \end{eqnarray}$ zu isolieren: $\begin{eqnarray} \frac{r_3}{q_m^{144 + n}} \cdot \frac{q_m^n - 1}{q_m - 1} = \frac{r_3}{q_m^{144}(q_m - 1)} \cdot \frac{q_m^n - 1}{q_m^n} = \frac{r_3}{q_m^{144}(q - 1)} \cdot (1 - \frac{1}{q_m^n}) \end{eqnarray}$ und wir erhalten $\begin{eqnarray} B - \frac{r_2}{q^{10}} \cdot \frac{q^8 - 1}{q^2 - 1} = \frac{r_3}{q_m^{144}(q_m - 1)} \cdot (1 - \frac{1}{q_m^n}) \end{eqnarray}$ Daraus ermitteln wir $\begin{eqnarray} q_m^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . ................... [n = 2,229 J, Rest: 228,43 Eur; -> 2 Raten: 1000.- Eur + 1000.- Eur + Rest = 1228,43 Eur] mY+
31.12.2006, 16:11	Snorre	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu!!! Hy, habs jetzt endlich auch rausbekommen! DANKE für deine Hilfe. Wer weiß, wie lange ich sonst noch dabei gesessen wäre. LG Snorre

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »