Ideale |
| 04.10.2011, 22:08 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ideale Meine Frage ist: Ist das (Kreuz-)Produkt von Idealen wieder ein Ideal? ...wieso, wieso nicht? Unser Übungsleiter hat gemeint, wir sollen uns das mal aufs nächste Mal überlegen. Ich bin ziemlich sicher, dass dann wieder ein Ideal im Produkt der Ringe, denen die Ideale angehören, rauskommt. Wie aber lässt sich das beweisen? Grüsse und danke, Sabrina. |
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| 04.10.2011, 22:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Ideale Wie sieht das Kreuzprodukt denn aus? Und wie ist ein Ideal definiert? Fang mal damit an, sauber die Voraussetzungen und das, was du zeigen willst, aufzuschreiben |
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| 05.10.2011, 10:59 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Ideale Hallo Danke für deine Antwort! 
Tatsächlich. Alle Definitionen aufgeschrieben, konnte ich die Behauptung relativ rasch verifizieren. Ich stocke aber noch hierbei: Seien R und S Ringe und L ein Ideal in R x S. Sei I := {i | (i,j) aus L} und J := {j | (i,j) aus L}. Zu zeigen: I ist ein Ideal in R und J ein Ideal in S. Meine Frage: Kann / soll man hier mit Links- und Rechtsidealen hantieren? So wäre auf alle Fälle meine Idee. Ich habe für I alle Eigenschaften gezeigt, bis auf jene des Rechtsideals, die ja eben nicht gegeben sein soll. Ich dachte daran, dass wenn a aus I und r aus R ist, ar nicht unbedingt in I sein muss. Ist das korrekt? |
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| 05.10.2011, 11:28 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie habt ihr denn Ideal definiert? Normalerweise bezeichnet Ideal ein beidseitiges, also Links-und Rechts-, Ideal. |
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| 05.10.2011, 12:25 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, stimmt. Ja, wir habens auch so eingeführt. Wie kann man das sonst zeigen? |
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| 05.10.2011, 12:27 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was genau? |
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| 05.10.2011, 12:34 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Seien R und S Ringe und L ein Ideal in R x S. Sei I := {i | (i,j) aus L} und J := {j | (i,j) aus L}. Zu zeigen: I ist ein Ideal in R und J ein Ideal in S. |
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| 05.10.2011, 12:38 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Worauf ich mich in meinem ersten Kommentar bezog war:
und
Der Beweis ist reines Nachrechnen der Ideal-Eigenschaften, wie Du es zum Teil schon gemacht hast. |
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| 05.10.2011, 12:46 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wie soll ich schlussendlich dann darauf kommen, dass I ein Ideal in R und J eines in S ist? ...also worin sollten sich die Endbedingungen unterscheiden? (dass daraus dann folgt, dass I in R und J in S ist?) |
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| 05.10.2011, 12:56 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt seh´ich Deinen Denkfehler: Ein Ideal heißt Links(Rechts)-Ideal eines Rings R wenn I Untergruppe von (R,+) und für jedes und ist bzw. . Links\Rechts- Ideal bezieht sich hier auf das multiplizieren der Ringelemente an die Idealelemente von Links oder Rechts und hat nichts mit Kreuzprodukten zu tun. |
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| 05.10.2011, 13:25 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahh...ok, also Ideale sind I und J also sicher. Auf die Antwort, wie ich sehen kann, dass I ein Ideal von R und J eines von S ist, bin ich aber noch nicht gekommen... |
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| 05.10.2011, 13:32 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideale
Was hast Du denn da gezeigt? Dass I ein Linksideal ist, nehm ich doch mal. Dann fehlt nur noch die Rechtsideal-Bedingung (die analog zu der beim Linksideal ist.) |
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| 05.10.2011, 13:38 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Ideale Natürlich, das hab' ich gezeigt. --> I (und auch J) sind Ideale. ABER: Ich habe nicht gezeigt, dass I in R ein Ideal ist... [oder ist dies sowieso "automatisch" der Fall?] |
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| 05.10.2011, 13:43 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ideal ist ein relativer Begriff, d.h. abhängig von dem Ring in dem man sich befindet (wie z.B. auch Offenheit in der Topologie). Man lässt den Ring in dem man sich befindet aus Faulheit aber fast immer weg. Wenn Du sagst I ist ein Ideal, in welchem Ring ist das gemeint? |
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| 05.10.2011, 14:21 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hehe..okey. I ist ein Ideal in R x S. Deshalb ist auch nicht "einfach so" klar, dass I auch ein Ideal in R ist...oder doch? |
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| 05.10.2011, 14:25 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideale
Damit ist I keine Teilmenge von kann also kein Ideal von sein. Von was ist I denn eine Teilmenge und kein dementsprechend nur davon ein Ideal sein? |
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| 05.10.2011, 14:32 | Sabrina18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Ideale Ahhh...I ist Teilmenge von R, daher ist I ein Ideal in R.
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| 05.10.2011, 14:35 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest Du hier mal aufschreiben, wie Du zeigst dass I ein Ideal von R ist? Nur Teilmenge zu sein reicht nicht dafür Ideal zu sein, es gibt mehr bedingungen zu erfüllen, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_%28Ri...e%29#Definition |
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