Sinn von Grenzwerten einer Funktion

05.10.2011, 08:59	apfelchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinn von Grenzwerten einer Funktion Meine Frage: Hey ihr, eine Frage: Welcher Sinn verbirgt sich hinter dem Wert den ich bei der Grenzwertbestimmung einer Funktion erhalte? Mit ist klar, dass es sich um eine Annäherung an einen Wert geht. Aber was sagt diese Annäherung genau aus? Meine Ideen: Handelt es sich bei einer Funktion um eine Steigung in einem Punkt??
05.10.2011, 09:32	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinn der Grenzwert betrachtung bei Funktionen ist, einfach der das man wissen möchte wie sich eine Funktion an einem bestimmten Punkt (oder im unedlichen) verhält. Bei der Ableitung einer Funktion handelt es sich um die Steigung dieser Funktion ( in einem Punkt). Dieser Grenzert kommmt zustande wenn wir ein "unedlichkleines" steigungsdreickeck wählen. (hier interessiert uns die differenz eines Punktes mit einem anderen Punkt der sehr hane an diesem Punkt liegt.)
05.10.2011, 14:31	HolzApfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Annäherung Annäherung klingt immer so dynamisch und lenkt das wirkliche Verständnis in die falsche Richtung. Denn wenn du auf eine selbstgewählte beliebige Stelle auf dem Graph schaust dann suggeriert das Wort Annäherung, das man jetzt nur von dort etwas "näher" an den Grenzwert ran muss und schon ist man wieder etwas dichter dran usw. Nur ist das aus meiner Sicht der falsche Ansatz um den Sinn des Grenzwertes zu verstehen. Denn es ist nämlich prinzipiell völlig egal ob du dir eine Stelle auf dem Graph suchst der sehr Nahe am Grenzwert ist oder eine Stelle die noch Näher ist usw. Das gedankliche Suchen von Werten die im endlichen näher am Grenzwert liegen ist völlig fehl am Platze. Denn du bewegst dich in dem Moment zwar scheinbar näher an den Grenzwert bist aber immer die gesamte Zeit im endlichen. Und welchen Wert du dir dort im endlichen aussuchst und ob du im endlichen jetzt den Eindruck hast du bist "näher" am Grenzwert spielt keine Rolle. Denn der entscheidende Punkt ist ja nicht das du im endlichen sehr "dynamisch" dem Grenzwert "entgegenläufst" sondern das du IMMER unendlich viel noch vor dir hast. Eine Aussage wie "ich nähere mich dem Grenzwert (im endlichen)" ist deshalb für das Verständnis eher nutzlos. Denn egal wo du dich im endlichen befindest, du wirst nie die Barriere überwinden die zwischen dir und dem Grenzwert liegt. Deshalb bringt es auch nicht sich im Kopf vorzustellen man "nähere" sich dem Grenzwert. Nur meine Meinung.
05.10.2011, 14:51	Holzapfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Annäherung 2 Oder Kurzgefasst: Wenn du auf einem Graph der Funktion dich dem Grenzwert "näherst" dann schaust du manchmal zurück und siehst das du so und so viel endliche Schritte weit gekommen bist. Schaust du aber nach vorne siehst du IMMER unendlich weit. Das heißt also, nicht der Blick zurück ins endliche sondern der Blick nach vorne ins unendliche ist entscheidend. Und deshalb ist es auch keine "Annäherung" da du ja IMMER unendlich weit weg bist, egal wie weit du beim Rückblick ins endliche gekommen bist. Man "nähert" sich einem Grenzwert nicht, da die Hürde des Unendlichen immer unüberwindbar ist. Man ist beim Start unendlich weit weg und man ist nach so und so viel Schritten immer noch unendlich weit weg. Also spielt das "Annähern" im endlichen für das Verständnis des Grenzwertes gar keine Rolle. Leider wird es immer mit dieser "Annäherung" von Lehrern erklärt und dann hat man natürlich als Schüler Verständnisprobleme.
05.10.2011, 17:32	Jox1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dir ist die Bedeutung von den Begriffen noch nicht ganz klar, die du verwendest. Eine Funktion, ist zuerst einmal nicht anderes als eine Abbildungsvorschrift, die jedem Element einer Menge A ein Element aus einer anderen Menge B zuordnet. $\begin{eqnarray} f: \begin{cases}<br /> \{1,2,3\}&\to\{Tick, Trick, Track, Donald\}\\ <br /> 1 &\mapsto Tick\\<br /> 2 &\mapsto Trick\\<br /> 3&\mapsto Track<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ ist z.B. auch eine Funktion. Wenn deine Funktion jetzt aber auf einer Menge lebt, auf der ein Limes-Begriff definiert ist (also z.B. den reellen Zahlen), kannst du überprüfen, ob deine Abbildung sehr regulär sind - also quasi einem System folgen - oder einfach irgendeine wilde Zuordnung ist. Wenn du z.B. die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ ansiehst und $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ betrachtest, dann stimmt dieser Wert mit dem Funktionswert überein - die Funktion verhält sie hier also so, wie es die Werte in der Umgebung von diesem Punkt erwaren lassen. (Fachjargon: sie ist stetig in diesem Punkt) Betrachtest du z.B. die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} <br /> 0 & \text{für } x \neq 0\\ <br /> 1 & \text{für } x = 0<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ dann gilt hier $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} f(0) = 1 \end{eqnarray}$ - die Funktion verhält sich hier also überhaupt nicht so, wie erwartet, sondern macht einen Sprung(sie ist hier also nicht stetig). Noch schlimmer ist es bei $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} <br /> 0 & \text{für } x \in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} <br /> 1 & \text{für } x \in\mathbb{Q}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ hier existiert der $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} f(x) \end{eqnarray}$ nicht einmal - diese Funktion ist hier also ziemlich "chaotisch". Ist deine Funktion sehr regulär - also nicht nur stetig, sondern sogar differenzierbar, dann lässt sich auch eine Steigung dieser Funktion bestimmen, die durch den bekannten Differenzenquotienten definiert wird. Dann gibt es also eine Gerade (im Fall einer Funktion von den reellen in die reellen Zahlen - in anderen Fällen eine lineare Abbildung), sodass die Werte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit den Werten der Gerade "fast" übereinstimmen, solange du nahe genug bei deinem x bist. Und diese Gerade ist genau $\begin{eqnarray} f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Um es noch einmal kurz zusammenzufassen: der Grenzwert auf Funktionen ist vor allem ein Mittel um ihre Regularitätseigenschaften zu untersuchen. Ich hoffe, das hilft! lg
09.10.2011, 16:12	apfelchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich habe nun etwas mehr Durchblick, trotzdem ist mir nicht klar, was es Bedeutet, wenn ich z.B. bei der Grenzwertbestimmtung den Wert 4 erhalte, was sagt mir dieser Wert aus?
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