Logistisches Wachstum ;) |
| 30.12.2006, 17:51 | kreck | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Logistisches Wachstum ;) Also : Ich mache Facharbeit mathematik , thema wachstumsfunktionen ... soweit kein problem , erstmal grunddefinitionen etc etc jetzt bearbeite ich mein hauptbeispiel , die verbreitung von aids und die diversen fehlinterpretationen von daten , z.b. veränderunegn von zuwachsraten etc . zudem habe ich beschrieben , warum die zunahme bei einer epidiemie nicht dauerhaft exponentiell laufen kann , wieso sich zuwachsraten ändern , warum zuwachsraten zu beginn der dokumentationen maximal sind etc ... soweit kein problem meine frage , das logistische wachstum betreffend ist nun folgende : ich möchte darstellen , wie eine logistische zunahmen und die resultierende sättigung sich bei einer bevölkerung von 1000 personen auswirkt , und danach den beweis führen , warum sich der wert irgendwann asymptotisch dem maximum von 1000 nähert . Zudem möchte ich parallel die zuwachsraten eintragen . mein problem ist nun , dass ich keine ahnung habe welche formel ich dafür nehmen soll . die erste wäre die sauber aus der für die steigung (=ableitung) geltenden daten integrierte version von wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion die zweite wäre B neu = B alt + [Faktor * B alt * (Grenze - B alt)] von http://www.mathekiste.de/html10/wachstum/wachstumlog.htm + diverse andere , für die ich den verlauf nicht geprüft habe . an sich müssten beide die selben sein , da sie von der selben annahme ausgehen , nämlich , dass Zuwachs = Faktor * B alt * (Grenze - B alt) wobei der zuwachs natürlich auch gleichzeitig f' entspricht nun würde ich gerne wissen , was ich mit dem faktor anfangen soll , wie ich ihn wählen sollte und was nun im endeffekt der unterschied der beiden "formeln" ist ... in der darstellung mit exel ergibt sich beide male die charakteristische kurve , jedoch bin ich mir unsicher welche version ich nun verwenden soll :/ bitte helft mir! |
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| 30.12.2006, 18:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die beiden Modelle sind nicht dieselben. Das erste Modell würde ich das stetige, das zweite das diskrete Modell nennen. Ich selbst würde das stetige Modell vorziehen (einfach, weil es eine explizite Formel darstellt). Aber letztlich bleibt es dir überlassen, welches Modell du wählst. Ja, du könntest daraus sogar ein Unterthema deiner Facharbeit machen: Wie groß ist der Unterschied der beiden Modelle? Du könntest das an einem konkreten Beispiel durchrechnen. Beachte, daß es sich in jedem Fall um Modelle handelt: Die tatsächliche komplexe reale Situation wird durch ein vereinfachtes mathematisches Modell beschrieben. Wie bei jeder Modellbildung ist die Tragfähigkeit des Modells zu diskutieren: Inwieweit kann man vernünftige Aussagen machen (Interpolationen, Extrapolationen)? Ab wann beschreibt das Modell die Situation nicht mehr angemessen? |
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| 30.12.2006, 18:47 | Kreck | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay ... danke erstmal soweit , aber jetzt stellt sich mir die nächste frage : worauf bezieht sich im zweiten fall die von dir angesprochene diskretheit? darauf dass sich die werte jeweils nur auf das vorhergehende zeitintervall beziehen? |
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| 30.12.2006, 19:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
lat. discernere, part. perf. discretus ~ trennen, unterscheiden In der Mathematik spricht man von einem diskreten Modell, wenn es eine Folge einzelner, getrennt liegender Werte, hier etwa B(0), B(1), B(2), ... , gibt. Du kannst in diesem Modell z.B. nicht den Wert B(2,35) ermitteln. Höchstens kannst du einen plausiblen Wert zwischen B(2) und B(3) interpolieren. Das macht man ja gerade dann, wenn man den Graphen "durchzeichnet". Bei einem stetigen Modell kannst innerhalb eines gewissen Intervalls zu jeder Eingabe den Wert berechnen, z.B. das obige B(2,35). |
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| 30.12.2006, 19:05 | kreck | Auf diesen Beitrag antworten » |
jo klar... denkfehler meinerseits .... ich hab es mir bisher erspart analysis nochmal aufzufrischen ... muss ich aber fürs abi jetzt dann eh wieder tun ... okay.. also zusammengefasst heisst dass erstmal , dass das stetige modell genauer ist , weil die integration den gesamten graphen abdeckt , ums mal salopp zu sagen , das diskrete modell erlaubt die darstellung nur für die ganzzahligen zeitintervalle , meinentwegen tage , monate oder jahre , und die werte dazwischen sind interpoliert . soweit korrekt? danke btw schonmal für die flotten antworten ! 
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| 30.12.2006, 19:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Im wesentlichen korrekt. Ob allerdings das stetige Modell genauer ist, darüber ließe sich trefflich streiten. Da müßte man zuerst einmal festlegen, was mit "genauer" gemeint ist. Das stetige Modell ist lediglich umfassender und hier rechnerisch leichter zu handhaben. Ob es aber genauer ist? |
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| 30.12.2006, 21:01 | kreck | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich habe mir da jetzt mal n paar gedanken gemacht , aber komme nicht weiter ... angenommen ich nehme , egal welches der modelle , so habe ich ja diverse variablen festzulegen , nämlich die "schranke" , den anfangsbestand und den wachstumsfaktor . hier kommt meine nächste frage : ich will als beispiel einen graphen erstellen , der die ausbreitung von aids in einer geschlossenen bevölkerung von 1000 personen beschreibt . d.h. Anfangsbestand = 1 Obere Asymptote oder grenze = 1000 nun kommt der wachstumsfaktor . ich habe keine ahnung was ich mir darunter vorzustellen habe , bzw was er aussagt , je nachdem wie ich ihn wähle . in dem buch mit und anhand dem/dessen ich arbeite ist ein solcher graph erstellt , aufgrund folgender annahmen : 1000 Personen jeden monat wechseln 20% der personen ihnren partner die chance der partner beim zusammenleben mit einem infizierten angesteckt zu werden ist 0,8 als formel hat der autor angegeben : neuinfi = altinfi/(pop-1) * (pop-altinfi) * promisk * probinfi wobei altinfi= die schon vorhandenen infizierten neuinif= anzahl der neuinfizierten pop= grösse der population (1000) promisk= häufigkeit des partnerwechsels(erfolgreich) (=20% bzw 0,2) probinfi= W für infektion beim zus. leben mit einem infizierten (=0,8) anmerkung : die zeitintervalle sind monate... der autor erwähnt noch die diversen annahmen die dafür gemacht werden , und schreibt dann dass daraus eine logistische funktion folgt die lautet : y = 1/(1- exp[ - a * (th - t)]) wobei th die "halbwertszeit" des wachstums ist woher diese formeln kommen und wie sie zu begründen sind ist mir ein absolutes rätsel und ich bin dankbar über jede hilfe , wie ich das ding verallgemeinern kann , oder zumindest verstehen . (hier erfolgt der rückbezug zum wachstumsfaktor in der allgemeinen form , über dessen definition ich keinen blassen schimmer habe) zudem wäre interessant zu wissen , wie ich in diesem beispiel "den wachstumsfaktor" bekomme und ob dieser überhaupt über die gesamte länge des vorgangs gültig ist .... ein dickes ? von mir wäre cool wenn ich geholfen werden könnte
ty schonmal |
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