Beweis durch vollständige Induktion |
| 05.10.2011, 12:56 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis durch vollständige Induktion Also gleich vorne weg ich habe mir hier im Forum die vollständige Induktion angesehen und ich muss leider sagen, dass ich diese leider nicht bei meinem Problem anwenden kann, da ich sie nicht wirklich verstehe. Vielleicht erstmal zu meinem Problem: Es geht darum in einem Spiel (Bridg-It, wen es interessiert) zu zeigen wie viele Kanten solch ein Feld hat. Durch überlegen bin ich auf die allgemeine Formel n² + (n-1)² gestoßen! Jetzt bin ich soweit dass diese Formel irgendwie auch mit n+1 stimmen muss?! Weiß allerdings jetzt nichtmehr wirklich weiter was nun zu tun ist! Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte! Lg tobi |
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| 05.10.2011, 13:16 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis durch vollständige Induktion
Dann hoffst du wohl ausschließlich auf Leute, die das Spiel auch kennen. Wenn du einen größeren Personenkreis dafür interessieren willst - vielleicht um die Chance zu erhöhen, dass dir geholfen wird - dann solltest du dieses besagte Feld hier mal beschreiben. 
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| 05.10.2011, 13:46 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis durch vollständige Induktion Es ist ein Spielbrett mit in der Standartversion 11 mal 11 Knoten in horizontaler richtung sind alle Knoten Rot in vertikaler Schwarz (oder umgekehrt) Ziel ist es einen durchgehenden Weg zu bilden durch das Brett. Mein ziel ist es aber nur die maximal Kantenanzahl die sich aus der Formel n² + (n-1)² errechnet zu beweisen. Im Dateianhang ist ein 5x5 Spielbrett einmal abgebildet. Wenn man die Randknoten einer Seite untereinander verbindet zählt diese Kante nicht zur Gesamtkantenanzahl dazu (da sie für den spielverlauf uninteressant sind) |
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| 05.10.2011, 13:54 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mich würde interessieren, warum du deine Formel beweisen möchtest? Ist es für das Spiel nicht völlig unerheblich? 
Wenn du es trotzdem machen möchtest: 1) Als Erstes musst du zeigen, dass deine Formel für n=1 gilt, d.h, dass wenn du n=1 setzt, das Ergebnis 1 sein muss. Dies muss für dein Spielfeld zutreffen! 2) Als Nächstes musst du dann zeigen, dass deine Formel auch für n+1 gilt, n+1 ist hier ein beliebiger Nachfolger im Bereich der natürlichen Zahlen. (Reihenfolge umkehrbar) Addiere dazu n+1 (also den [allgemeinen]Nachfolger) zu deiner Formel, dann musst du nach Umformung der Summe ein Ergebnis erhalten, das identisch ist mit deiner Formel in der du direkt n=n+1 gesetzt hast. Dann hast du bewiesen, das deine Formel im Bereich der natürlichen Zahlen gilt. |
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| 05.10.2011, 14:44 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das ist richtig für das Spiel ist sie unerheblich! Allerdings geht es darum das Spiel etwas genauer zu beschreiben und dabei ist die Berechnung der maximalen Kantenanzahl doch eine ganz lustige Randnotiz über die man sich ja mal Gedanken machen kann
deswegen aber prinzipiell ist es richtig dass die Formel nichts mit dem Spiel an sich zu tun hat. Ich probiere das jetzt wie vorgeschlagen und schreibe meine Lösung anschließend hier rein
ich hoffe natürlich dass sie stimmt! Ich möchte mich jetzt schonmal ganz herzlich bedanken! Sie haben mir sehr geholfen! |
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| 05.10.2011, 14:59 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also stimmt folgende Annahme? IA für n0= 1 -> 1²+(1-1)²=1 -> stimmt für n0=1 IS für n= n+1 1) (n+1)² + (n+1-1)² = (n+1)² + n² 2) zum allgemeinen Term n² + (n-1)² n+1 addieren was ungefähr so aussehen würde n² + (n-1)² + n+1 = // jetzt etwas umformen = n² + n² -2n +1 + n+1 = = 2 n² - n +2 und das muss jetzt gleich (n+1)² + n² sein oder wie? schaut leider irgendwie nicht danach aus! Können sie mir sagen wo der Fehler liegt? weil richtig ausmultipliziert und vereinfacht ist es meiner Meinung nach zumindest aber ich verrechne mich öfter mal
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| 05.10.2011, 15:24 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@tobi141 Ich werde aus deiner Spielfeld-Beschreibung nicht schlau: Du redest von Knoten, Ok. Aber wie können Knoten gemäß ihrer "Richtung" gefärbt sein??? Das sind für mich Punkte, die keine Richtung haben. Und welche Kanten betrachtest du zwischen den Knoten? Doch nicht alle, sondern sicher nur solche irgendwie in der Nachbarschaft? Die Skizze vom Fall 5x5 ist für mich da auch nicht unbedingt erhellend, da sehe ich zwei ineinander geschachtelte Punktgitter 5x6 (rot) und 6x5 (schwarz). Von Kanten wieder keine Spur zu sehen. 
Alles in allem muss man wohl doch das Spiel kennen, denn deine Beschreibung nützt Nicht-Insidern bisher sehr wenig. |
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| 05.10.2011, 15:37 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ René Gruber Das Spiel an sich ist ja auch völlig egal für die Betrachtung der maximalen Kantenanzahl! Es ist etwas umständlich zu erklären wie das Spiel funktioniert aber kurz gesagt Kanten sehen sie nicht weil man sie noch einzeichnen muss jeder spieler darf nur Punkte sog Knoten seiner eigenen Farbe miteinader verbinden solch eine Verbindung zweier Knoten wird als Kante bezeichnet! Man zählt auf dem Bild 6x5 weil man sonst das brett nicht zeichnen könnte! WIe ich aber bereits geschrieben habe zählen die Randknoten nicht mit. Aber die Bestimmung der maximalen kantenanzahl hat wie Christian_P bereits richtig bemerkt hat absolut garnichts mit dem Spiel selber zu tun, deswegen ist das Spiel uninteressant sondern es geht mir nur darum wie ich hier den Beweis der vollständigen Induktion anwenden kann! Und zwar anwenden auf die Formel die ich ja bereits liefere. Wenn sie sich als mit der vollständigen Induktion auskennen wäre ich ihnen sehr verbunden, wenn sie mir dabei helfen könnten und mit erklären könnten, wo der Fehler in meiner Antwort auf Christian_P 's ausführungen liegt! Lg Tobi |
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| 05.10.2011, 16:05 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das ist der Punkt: Man kann keine Kanten zählen, wenn man überhaupt nicht weiß, welche Kanten denn gemeint sind, d.h. zwischen welchen Knoten oder wie auch immer. Für mich ist das der Anlass, hier auszusteigen, denn du hast zwar viel geschrieben in deinem letzten Beitrag, aber nichts Handfestes zu dieser wichtigen, die Aufgabe überhaupt erst definierenden Frage. 
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| 05.10.2011, 17:28 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der 2.Schritt meiner Erklärung stimmt nicht bzw. gilt nur für die arithmetische Reihe der Natürlichen Zahlen. Ich habe da etwas durcheinandergebracht. Deine Formel beschreibt doch die Anzahl der Kanten eines Spielfeldes abhängig von, ja abhängig von was eigentlich
Knoten?Dann ist dies lediglich eine Beschreibung der Folgenglieder dieser arithmetischen Folge und ein Beweis ist dann eigentlich nicht nötig, da ja klar ist, dass diese Folge sich nach der angegebenen Regel immer weiter fortsetzt. Würde ich jetzt mal so sagen. |
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| 06.10.2011, 19:32 | tobi141 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja abhängig von der Größe des Spielfeldes! Und genau da tu ich mich ja auch so schwer, denn für mich gibt da beweisen einfach keinen Sinn! Denn ich kann zwar zeigen mit n+1 dass es stimmt, denn dann kommt ja auch einfach die formel für n+1 heraus aber ein beweis ist das ja eben genau nicht! Ich werde mich jetzt einmal erkundigen wie meine Lehrerin gemeint hat, dass man das beweisen kann (sie sagte mit vollständiger Induktion) und ja ich werde mich dann entweder morgen oder mitte nächster Woche nochmal melden! Vorausgesetzt sie interessiert das natürlich dann noch
würde mich freuen! Lg Tobi |
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| 07.10.2011, 11:39 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, melde dich! Ich bin gespannt, was deine Lehrerin dazu zu sagen hat.
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