Kombinierte Wachstums/Zerfallsrechnung

05.10.2011, 13:53	hmong	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinierte Wachstums/Zerfallsrechnung Meine Frage: Könnte mir bitte jemand bei diesem Beispiel helfen - ich hab zwar schon einen Lösungsansatz, bin mir aber nicht sicher, ob dieser richtig ist: Robben sind vom Aussterben bedroht - zwar beträgt ihr Populationswachstum 2%, trotzdem nimmt die Zahl an Robben ab. Im Jahr 1893 betrug die Anzahl 1000 und im Jahr 1983 nur noch 100 Robben.In diesem Zeitraum schätzte man, dass jährlich allein durch äußere Umwelteinflüsse durchschnittlich 24 Robben zusätzlich umkamen. a.) Schreibe den Wachstumsprozess der beobachteten Entwicklung in einer Differenzengleichung an und berechne auch die explitite Darstellung für den Robbenbestand x nach n Jahren. Berechne weiters die Anzahl für 1983. Warum differiert das Ergebnis so stark? b.) Wie viele Robben hätten den Umwelteinflüssen nur zum Opfer fallen dürfen, damit die Population konstant wäre? Formuliere den Sachverhalt auch allgemein. Meine Ideen: Mein Lösungsvorschlag für a.) ist folgender: N(t)=Noe^(-0,02558t)+N(t)e^(0,0198t)-24t N(t) = (Noe^(-0,02558t) - 24t)/(1 - e^(0,0198t)) N(90) = 416 Wachstum: N(t)=Noe^(0,0198t) Zerfall: N(t)=No*e^(-0,0255t) Meine Lösung zu b.): Damit die Population konstant bleibt, dürfen nur 20 Robben Umwelteinflüssen zum Opfer fallen. Vielen herzlichen Dank im Voraus, falls mir jemand Feedback zu meinem Lösungsansatz geben kann!!! Liebe Grüße.
05.10.2011, 18:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf die -0,02558 im Exponenten des Zerfalls? Selbst wenn dies richtig wäre, dürfstest du bei der weiteren Rechnung die 8 in der letzten Stelle keinesfalls weglassen. Ausserdem ist der Ansatz so nicht richtig, Die Wachstums- und Zerfallsraten subtrahieren sich NICHT, sondern sie gehen faktorenmäßig ein. Somit müsste die Funktion lauten: $\begin{eqnarray} N(t) = N(0) \cdot e^{0,0198026} \cdot e^{-kt} - 24t \ \ k .. \ \text{Zerfallskonstante der Abnahme} \end{eqnarray}$ Man kann alternativ statt mit der Basis e auch mit allgemeinen Basen direkt arbeiten, insbesondere dann, wenn es sich um die Prozentsätze des Wachstums/Zerfalls handelt. $\begin{eqnarray} N(t) = N(0) \cdot 1,02^t \cdot b^t - 24t \end{eqnarray}$ Im ersten Fall ist k zu bestimmen, im zweiten Fall b. Die Gleichung für a) lautet dann $\begin{eqnarray} 100 = 1000 \cdot 1,02^t \cdot b^t - 24t \ \text{mit} \ t = 90 \end{eqnarray}$ Daraus ist b > 0 (!) zu berechnen. In b) Das Resultat müsste 14 lauten, nicht 20. mY+

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