Trigonometrische Funktion ableiten

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Floyd Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Funktion ableiten
Hallo liebe Mathefreunde

ich habe da folgende FUnktion und beiße mir an ihr die Zähne aus. Ich soll von dieser Funktion die Null-, Extrem- und Wendestellen bestimmen

f(x) = 1/2x +1 + sin(x)

Mir fehlt bei dieser Aufgabe sogar der Ansatz..... kann mir jemand einen Tipp geben, sodass ich dann weiter machen kann.


Vielen Dank vorab

Meine Gedanken:

Also ich weiß, dass die erste Nullstelle von sin(x) 0 ist und dann die zweite bei Pi liegt, die Dritte bei 2Pi etc.

Aber was mache ich jetzt mit dem Rest der Funktion ???
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das du deine Funktion ableiten musst hast du ja schon im Titel angedeutet.
Also würde ich ersteinmal alle drei Ableitungen bilden.

lg,
Christian
 
 
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = 1/2x +1 + sin(x)

Ableitungen:

f'(x) = 1/2 + cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)


Nullstellen

f(x) =0

0 = 1/2x +1 + sin(x)

....

Extremstellen

f'(x) = 0

0 = f'(x) = 1/2 + cos(x)

....

Wendestellen

f''(x) = 0

0 = -sin(x)

...
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Gliedweise ableiten ist schon mal OK.
Vergewissere dich aber, dass alle Ableitungen richtig sind.
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Korrigiert, aber nun weiß ich nicht weiter..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = 0 ist algebraisch nicht auflösbar, das muss man näherungsweise machen.
Die Nullstellen der beiden anderen Gleichungen sind aber leicht aufzufinden.
Mache doch mal entsprechende Ansätze!



mY+
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp, genau das wollte ich wissen

f(x)=0 kann man algebrarisch nicht lösen, aber woran sehe ich, wann man eine Funktion, die eine trigonometrischen Ausdruck erhält nicht lösen kann?


Extremstellen f'(x) = 1/2 + cos(x)

0= cos (x) + 1/2

-1/2 = cos(x) /acos

x = 2/3 Pi


Wie verbinde ich nun dieses Ergebnis mit der "Nullstellenformel" für cos(x) um weitere Nullstellen zu berechnen?

Pi/2 + k* Pi





Wendestellen f''(x) = -sin(x)

0 = -sin(x) | *(-1)

0 = sin(x) | acos

x= 0

Hier lautet die Nullstellenformel k * Pi

also für k=0 ist x=0

für k=1 ist x=pi

für k=2 ist x =2Pi

etc.
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Würd mich freuen, wenn mir jemand bzgl. meines Lösungsweges noch ein paar hilfreiche Tipps geben könnte...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichungen, in denen die Unbekannten sowohl als Winkelfunktionen als auch in deren Argumenten vorkommen, sind transzedente Gleichungen und sind im Allgemeinen nicht algebraisch lösbar.
Das Gleiche gilt für Gleichungen der Form T(x, log x) = 0 oder T(x, a^x) = 0.

Extremwerte:
2/3 pi + 2kpi ist nicht die einzige Lösung; es gibt ebenso noch 4/3 pi + 2kpi (Nebenwert).


Wendepunkte:

0 + kpi ist richtig.

Dies alles sollte ja auch aus dem Graphen ersichtlich sein.

mY+
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, nun bin ich ein wenig schlauer, aber noch nicht komplett erleuchtet :-) Bei den Extremwerten blicke ich noch nicht ganz durch:

Ich habe für die erste Extremstelle x = 2/3 Pi raus und wollte wissen, ob ich dieses Ergebnis nun irgendwie mit der "Nullstellenformel für Cos(x)" -
Pi/2 + k* Pi - , die ich aus der Formelsammlung entnommen habe, verbinden muss. Muss ich das Ergebnis irgendwo einsetzen oder es mit der genannten Formel gleichsetzen?


Sie geben an als erste Extremstelle 2/3 pi + 2kpi an, jedoch erschließt sich mir nicht, wie sie auf die 2kPi kommen?

Zudem ist mir der Weg zum zweiten Wert 4/3 pi + 2kpi nicht klar.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Summand 2k.pi bzw. k.pi (mit ganzzahligem k) entsteht infolge der Periodizität der Winkelfunktion. Wenn du den Einheitskreis 1, 2, ..., k mal umläufst, wird dabei immer wieder eine Bogenlänge von 2pi zurückgelegt und du bist wieder an derselben Stelle, jedoch der Winkel hat sich geändert.

Die Lösung für die Extremstelle ist die der Gleichung



Somit ist

Zu diesem Hauptwert gibt es aber noch einen Nebenwert, denn du musst nachsehen, wo innerhalb der ersten 4 Quadranten der Cosinus nochmals 1/2 ist.
Das kannst du im Einheitskreis oder auch direkt am Graphen der cos-Funktion erkennen.



___________________________

EDIT: Jetzt für deine Angabe, da gab es nämlich vor dem 1/2 ein MINUS:

Die Lösung für die Extremstelle ist die der Gleichung



Somit ist

Zu diesem Hauptwert gibt es aber noch einen Nebenwert, denn du musst nachsehen, wo innerhalb der ersten 4 Quadranten der Cosinus nochmals -1/2 ist.
Das kannst du im Einheitskreis oder auch direkt am Graphen der cos-Funktion erkennen.



mY+
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, dieser Tipp hat mir sehr geholfen. Damit kann diese Aufgabe als gelöst abgehackt werden :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Fein! smile

Aber tun wir der Aufgabe doch nicht weh, indem wir sie abhacken.
Besser ist doch: Abhaken, ja? Big Laugh
_______________

EDIT: Jetzt sehe ich, dass ich ein Vorzeichen vergessen habe!
Im Prinzip stimmt das alles, was ich gesagt habe, für eine etwas andere Angabe.
In deiner Angabe war da noch ein MINUS vor dem 1/2, daher kommt dann natürlich ein anderer Winkel.

mY+
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