Partielle Integration

05.10.2011, 14:34

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Partielle Integration

Hallo zusammen,

ich habe mal eine Frage zu dem oben genannten Thema.

Und zwar habe ich die Aufgabe:

Lösen sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_ 0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx <br /> \end{eqnarray*}$ durch partielle Integration.

Hmm zu meine Ansätzen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

Ganz sicher bin ich mir dabei nicht, habe dies aus meinem Buch, da wurde ein Beispiel mit dem gleichen Integral gemacht allerdings mit einer oberen Grenze von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin^2 \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir weiter helfen..

Danke

05.10.2011, 14:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partitielle Integration
Dein Ansatz hilft nicht ganz, denn du mußt $\begin{eqnarray*} sin^3(x) \end{eqnarray*}$ in ein Produkt von 2 Funktionen aufteilen.

05.10.2011, 14:41

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

gut wenn ich das aufteilen muss, dann würde ich ja ganz einfach nach der "Produktregel vorgehen"

also: $\begin{eqnarray*} sin^2(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$

05.10.2011, 14:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Jetzt muß du definieren, was f(x) und g(x) sein soll.

05.10.2011, 14:49

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

also $\begin{eqnarray*} f(x)=sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

und bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ muss ich jetzt die Ableitung nehmen?!

die in dem Fall $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ wäre

und bei $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ muss ich die Stammfunktion bilden?!

die dann wäre : $\begin{eqnarray*} -cos(x) \end{eqnarray*}$

???oder Holzweg?

05.10.2011, 14:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von totti
also $\begin{eqnarray*} f(x)=sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von totti
und bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ muss ich jetzt die Ableitung nehmen?!

Ja.

Zitat:

Original von totti
die in dem Fall $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ wäre

Falsch.

Zitat:

Original von totti
und bei $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ muss ich die Stammfunktion bilden?!

die dann wäre : $\begin{eqnarray*} -cos(x) \end{eqnarray*}$

Richtig.

Anzeige

05.10.2011, 15:01

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry,

die Ableitung von $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} cos(x)*2*sin(x) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f'(x) =cos(x)*2*sin(x) \end{eqnarray*}$

05.10.2011, 15:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt's. Freude

Freude

05.10.2011, 15:06

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, und wie geht es jetzt weiter?????

jetzt klommt doch erst das Problem...was muss ich jetzt machen?

05.10.2011, 15:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel für die partielle Integration anwenden. Das ist doch nur stumpfes Einsetzen.

05.10.2011, 15:15

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_ 0^\frac{\pi }{2} \! 2*sin(x)*cos(x) \, dx - \int_ 0^\frac{\pi }{2} \! cos(x)*2*sin(x)*sin(x) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

kann man das so schreiben?

und dann so in den Taschenrechner eintippen?

05.10.2011, 15:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann jetzt nicht nachvollziehen, was du gemacht hast. Schreib doch mal die partielle Integrationsregel komplett hin.

05.10.2011, 15:27

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)*g'(x) \, dx =\left[f(x)*g(x)\right]_a^b - \int_a^b \! f'(x)*g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

05.10.2011, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Also dann mal los.

05.10.2011, 15:36

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 2*sin(x)*cos(x) \, dx =\left[2*sin(x)*sin(x)\right]_a^b - \int_a^b \! cos(x)*2*sin(x)*sin(x) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

05.10.2011, 15:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, es gibt einen Mißmatch mit deinen Bezeichnungen und den Bezeichnungen in der Formel.

Damit es paßt, mußt du g'(x) = sin(x) und g(x) = -cos(x) nehmen.

Leider nochmal zurück zur Badstraße. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2011, 15:47

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

aber wieso???

g(x) haben wir doch vorhin gesagt und zwar ganz am Anfang, das dass sin(x) ist

und dann g'(x) das war mein Fehler, das habe ich falsch eingesetzt -cos(x) ist.

05.10.2011, 15:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du diese Formel nimmst:

Zitat:

Original von totti
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)*g'(x) \, dx =\left[f(x)*g(x)\right]_a^b - \int_a^b \! f'(x)*g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Und da mußt du eben $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)*g'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit deinem Ausgangsintegral vergleichen und entscheiden, was f(x) und was g'(x) ist.

05.10.2011, 15:58

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Ausgansintegral ist ja:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx \end{eqnarray*}$

si ich habe das dann ja aufgeteilt in $\begin{eqnarray*} 2*sin(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$

Dann muss ich halt jetzt sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=2*sin(x) \end{eqnarray*}$ ist und

wenn ich nach der partiellen Integrationsformel gehe, die ich geschrieben habe, muss ich das als $\begin{eqnarray*} g'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ nehmen.

Also bleibt mein $\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)*2*sin(x) \end{eqnarray*}$ nach wie vor.

und da mein $\begin{eqnarray*} g'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ ist, ist mein $\begin{eqnarray*} g(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$

und dies müsste ich dann wieder so in die Formel einsetzten die ich vorhin geschrieben habe???

05.10.2011, 16:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von totti
Mein Ausgansintegral ist ja:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx \end{eqnarray*}$

si ich habe das dann ja aufgeteilt in $\begin{eqnarray*} 2*sin(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du siehst ein, daß $\begin{eqnarray*} 2*sin(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} sin^3(x) \end{eqnarray*}$ ist.

05.10.2011, 16:10

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar sehe ich das ein...

Und ich meinte natürlich auch $\begin{eqnarray*} sin^2(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$

05.10.2011, 17:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann tue also dies:

Zitat:

Original von totti
und dies müsste ich dann wieder so in die Formel einsetzten die ich vorhin geschrieben habe???

05.10.2011, 18:14

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^2(x)*sin(x) \, dx =\left[sin^2(x)*(-cos(x))\right]_0^\frac{\pi }{2} - \int_0^\frac{\pi }{2} \! cos(x)*2*sin(x)*(-cos(x)) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

ich hoffe da hat sich kein Fehler eingeschlichen...?!

05.10.2011, 18:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist 100% richtig. Freude

Freude

05.10.2011, 18:22

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

GEIL=)

Muss ich das jetzt noch i-wie ausrechnen, oder kann ich das so stehen lassen smile

smile

smile

smile

smile

05.10.2011, 18:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kannst du das nicht so stehen lassen. Wir wollen doch ein ordentliches Ergebnis haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also bei dem Ausdruck mit den eckigen Klammern kannst du schon mal die Grenzen einsetzen. Da wird sich einiges in Luft auflösen.

Bei dem restlichen Integral solltest du bedenken, daß cos²(x) = 1 - sin²(x) ist.

05.10.2011, 18:45

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...

sehe ich das richtig das sich da die komplette Klammer in Luft auflöst???

mit dem anderen Tipp kann ich so gut wie nichts anfangen=(

05.10.2011, 18:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von totti
sehe ich das richtig das sich da die komplette Klammer in Luft auflöst???

Ja.

Big Laugh

Zitat:

Original von totti
mit dem anderen Tipp kann ich so gut wie nichts anfangen=(

Suche das cos²(x) in dem Integral und wende die Formel an.

05.10.2011, 18:57

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich das richtig?

da die eckige Klammer ja weg gefallen ist bzw. =0 ist habe ich ja jetzt ein - vor dem letzten Inegralzeichen stehen...Hinter dem Inegralzeichen steht ein COS(x) und als letztes Glied habe ich auch noch ein -COS(x)...

Komme ich deswegen auf cos^2

05.10.2011, 19:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, üblicherweise ist cos(x) * cos(x) = cos²(x). Die Vorzeichen mußt du natürlich richtig verrechnen.

05.10.2011, 19:33

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

naja so ganz raff ich das nicht...

genau weiß ich das nicht, wie ich mit dem Minus vor dem Integral umgehen soll...

Wie sich dann die Vorzeichen verhalten?1 Wie bei einer Klammer?wenn ja, würden sie sich doch aufhaben oder etwa nicht...

06.10.2011, 08:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Heidinei.

unglücklich

Der Umgang mit Vorzeichen sollte spätestens ab der 7. Klasse kein Problem darstellen. Wir hatten:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^2(x)*sin(x) \, dx = \left[sin^2(x)*(-cos(x))\right]_0^\frac{\pi }{2} - \int_0^\frac{\pi }{2} \! cos(x)*2*sin(x)*(-cos(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Die eckige Klammer fällt weg und im Integral stellen wir etwas um:

$\begin{eqnarray*} ... = - \int_0^\frac{\pi }{2} (-2) \cdot sin(x) \cdot cos^2(x)~dx = 2 \cdot \int_0^\frac{\pi }{2} sin(x) \cdot (1 - sin^2(x))~dx = 2 \cdot \int_0^\frac{\pi }{2}(sin(x) - sin^3(x))~dx \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) = 2 \cdot \int_0^\frac{\pi }{2} sin(x)~dx - 2 \cdot \int_0^\frac{\pi }{2} sin^3(x))~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du eine Gleichung der Form: A = B - 2 * A, wobei A unbekannt und B (das ist ein leicht lösbares Integral) bekannt ist.
Das kannst du nun nach A auflösen.

06.10.2011, 14:18

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

ach haje...

ganz so leicht da durch zu steigen finde ich es jetzt nicht..aber ich versuche mal den nächsten schritt.

$\begin{eqnarray*} 3*\int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx =2*\int_0^\frac{\pi }{2} \! sin(x) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

06.10.2011, 14:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

smile

06.10.2011, 14:31

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

lass mich raten, es geht noch weiter??? Big Laugh

Big Laugh

06.10.2011, 14:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich. Du mußt solange rechnen, bis du da stehen hast:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx = eine...konkrete...Zahl \end{eqnarray*}$ smile

smile

06.10.2011, 15:04

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre doch eine schöne Antwort =)

Also würde ich jetzt weiter machen wie folgt?!

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin^3(x) \, dx =\int_0^\frac{\pi }{2} \!\frac{2*sin(x)}{3} \end{eqnarray*}$

07.10.2011, 16:00

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

?

07.10.2011, 16:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: das Integral auf der rechten Seite kann man bequem ausrechnen.

07.10.2011, 16:28

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin^3(x) \, dx =\int_a^b \! \frac{-(sin^2(x)+2)cos(x)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2/3 (FE) \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »