Fragen zu EW und Varianz

05.10.2011, 15:16

Jan_X

Fragen zu EW und Varianz

Meine Frage:
hallo, könnt ihr mir vllt. bitte helfen?
ein paar ideen hab ich ja auch schon

X sei eine zufallsvariable auf dem wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ .

a) X sei diskret und habe die abzählbar vielen werte $\begin{eqnarray*} x_i,i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , die mit den wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i=P(X=x_i) \end{eqnarray*}$ angenommen werden. definieren sie erwartungswert und varianz.

b) wie kann man den ew und varianz berechnen, wenn X reell ist und die dichte p(x) hat?

c) in hinblick auf die rechenregeln für den ew: was versteht man unter monotonie, linearität und sigma-additivität?

Meine Ideen:
also bei a) hab ich eine idee schon:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i\geq 1} x_i\cdot p_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(x)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

bei b) hab ich auch eine idee, aber ich weiß nicht ob sie stimmt und worüber man integriert (ich hab jetzt mich mal für Omega als integrationsbereich entschieden)

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{\Omega}p(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ???

wie man die varianz hier berechznen kann weiß ich nicht
wie denn??

bei c) würd ich es so sagen:

monotonie:
wenn X und Y zwei zufallsvariablen sind und $\begin{eqnarray*} X(\omega)\leq Y(\omega) \forall \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} E(X)\leq E(Y) \end{eqnarray*}$

linearität:

$\begin{eqnarray*} E(aX+d)=aE(X)+d \end{eqnarray*}$

sigma-additivität:

weiß nicht, was die voraussetzungen sind dass man

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \end{eqnarray*}$
schreiben kann.

was sind die voraussetzungen?

(gandere frage: geht das auch wenn bei der summe das nicht nur bis n sondern bis unendlich geht??)

05.10.2011, 16:02

Math1986

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RE: Fragen zu EW und Varianz

Zitat:

Original von Jan_X
Meine Ideen:
also bei a) hab ich eine idee schon:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i\geq 1} x_i\cdot p_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(x)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit smile

Ursprünglich definiert man die Varianz als
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X)=\sum_{i\geq 1} \left(x_i-E(X)\right)^2\cdot p_i \end{eqnarray*}$
was aber das selbe wie das von dir gezeigte ist.

Zitat:

Original von Jan_X
bei b) hab ich auch eine idee, aber ich weiß nicht ob sie stimmt und worüber man integriert (ich hab jetzt mich mal für Omega als integrationsbereich entschieden)

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{\Omega}p(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ???
wie man die varianz hier berechznen kann weiß ich nicht
wie denn??

Im Endeffekt analog zum diskreten Fall:
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{\Omega}x\cdot p(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X)=\int_\Omega\left(x-E(X)\right)^2\cdot p(x) \, dx \end{eqnarray*}$
Oder eben so wie du es angegeben hast.

c) Monotonie und Linearität hast du richtig angegeben.
Die Sigma-Additivität stimmt so nicht, ich verweise mal hierrauf

05.10.2011, 16:07

René Gruber

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Der Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist falsch: In dieser Formel wird über den Bildbereich der Zufallsgröße integriert, und das ist nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

05.10.2011, 16:18

Math1986

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Zitat:

Original von René Gruber
Der Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist falsch: In dieser Formel wird über den Bildbereich der Zufallsgröße integriert, und das ist nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt, danke

05.10.2011, 16:19

Jan_X

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also ist die sigma-additivität dies hier:

seien X und $\begin{eqnarray*} X_k, k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ diskrete integrable zv. wenn $\begin{eqnarray*} X_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ f.s. und wenn $\begin{eqnarray*} X=\sum_{n=1}^{\infty}X_n \end{eqnarray*}$ so ist

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}E(X_k) \end{eqnarray*}$ .

??

danke für die korrektur mit dem integrationsbereich

wieso muss es der bildbereich der zufallsvariablen sein?

05.10.2011, 16:51

Jan_X

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ich hab aber bei georgii folgendes gefunden

wieso ist da der integrationsbereich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ?

4.12 satz erwartungswert bei existierender dichtefunktion

sei $\begin{eqnarray*} \Omega\subset\mathbb R^d \end{eqnarray*}$ borelsch, P das wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{B}_{\Omega}^d) \end{eqnarray*}$ zu einer dichtefunktion p und X eine reelle zufallsvariable auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . dann gilt $\begin{eqnarray*} X\in\mathcal{L}^1(P) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}\vert X(\omega)\vert p(\omega) \, d\omega<\infty \end{eqnarray*}$ , und dann ist

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{\Omega}X(\omega)p(\omega) \, d\omega \end{eqnarray*}$ .

05.10.2011, 17:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Jan_X
wieso ist da der integrationsbereich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ?

Wieso nicht? Das ist die maßtheoretische Definition des Erwartungswertes, während du oben in deinem Beitrag die Berechnungsformel genannt hast, die über das Bildmaß gewonnen wird.

Deswegen gleich erstmal die Frage: Bist du maßtheoretisch vorgebildet? Wenn nicht, dann können wir hier gleich stoppen, denn dann verstehst du dieses Lebesgue-Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}X(\omega)p(\omega) \, d\omega \end{eqnarray*}$ ja gar nicht und es ist müßig, darüber zu diskutieren.

05.10.2011, 17:10

Jan_X

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ein bisschen maßtheorie hatte ich schon

ich habe es aber leider nicht verstanden, wieso man einmal Omega als integrationsbereich hat und einmal die reellen zahlen.

vielleicht kannst du es ja näher erklären`?

05.10.2011, 17:31

René Gruber

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Oje, ich bin doch kein Lehrbuch! Ich hab das Stichwort doch schon genannt: Bildmaß

Na Ok, ich versuch's. Bezogen auf die Bezeichnungen in der Wikipedia ist bei uns (also Satz 4.12 aus deinem Buch da) $\begin{eqnarray*} \mu=P \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g=X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} P(X^{-1}(A)) \end{eqnarray*}$ das sogenannte Verteilungsmaß der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , manchmal kurz auch $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ genannt. Im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ dann also nicht auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ (vom zugrunde liegenden W-Raum) definiert, sondern auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{R}^1,\mathcal{B}^1\right) \end{eqnarray*}$ .

Der im gleichen Wikipedia-Artikel dann angegebene Transformationssatz für solche Bildmaße liefert dann bei uns

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{X^{-1}(A)} h(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) = \int\limits_A h(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$

für beliebige Borelmessbare reelle Funktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Wählt man den ganzen Bildraum $\begin{eqnarray*} A=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ergibt das

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} h(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) = \int\limits_{\mathbb{R}} h(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall ist nun $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes aus $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{B}_{\Omega}^d) \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , da kann man die linke Seite dann noch umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} h(X(\omega))p(\omega) ~ \dd \omega = \int\limits_{\mathbb{R}} h(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ ,

genauso kann man im Falle einer stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x) \end{eqnarray*}$ die rechte Seite dann auch umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} h(X(\omega))p(\omega) ~ \dd \omega = \int\limits_{\mathbb{R}} h(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Speziell gilt für $\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$ hat man dann die gewünschte Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} X(\omega) p(\omega) ~ \dd \omega = \int\limits_{\mathbb{R}} xf_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

05.10.2011, 17:50

Jan_X

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oh, danke.

das hat mir sehr weitergeholfen!

der begriff des bildmaßes hatten wir genannt

"verteilung von X bei P" oder "bild von P unter X".

gut dass ich gefragt habe!!

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