Funktionen und Relationen

05.10.2011, 16:55

134340

Funktionen und Relationen

In der Schule behandeln wir gerade ausführlich das Thema Relationen und Funktionen, jetzt habe ich ein paar kleine Fragen zu eben diesem Thema. Ich nummeriere die Fragen für eine besser verständigung durch

1. Ist eine Funktion eine Relation oder nicht? Bzw. wo ist der Unterschied zwischen Funktion und Relation?

2. Ist eine Funktion eine Abbildung?

3. Ist $\begin{eqnarray*} (x, y) \in f \Leftrightarrow y = f(x) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} (x, y) \in f \Leftrightarrow x = f(y) \end{eqnarray*}$

4. Könnt ihr mir bitte genau erklären, was es mit diesem f(x) auf sich hat. Ich habe das bisher einfach immer so hingenommen, das f(x)=y und damit gerechnat, ohne wirklich zu wissen was es bedeutet. Also für was steht das f? In meinem Lehrbuch steht da nur ein Beispiel
$\begin{eqnarray*} f = \left\{ (x, y) | (x, y) \in A\times B \text{ und } y=f(x)=x^2\right\} \end{eqnarray*}$ kann ich das so verstehen, dass ich das anstelle des f einsetzen kann?

5. Wieso kann man $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} x \to f(x) \end{eqnarray*}$ schreiben?

6. Was ist der Vor- und was der Nachbereich einer Relation?

7. Ich verstehe noch nicht ganz, was eine Ordnugsrelation ist. Wiso ist denn
$\begin{eqnarray*} x | y \end{eqnarray*}$ in einer Menge der natürlichen Zahlen A, eine Ordnugsrelation in A?

MfG 134340

05.10.2011, 17:21

Airblader

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1. Ja, eine Funktion ist eine spezielle Relation, nämlich eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. Das bedeutet, dass für eine Funktion gefordert wird, dass jedem Element der Definitionsmenge mindestens, aber auch maximal ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.

2. Ja, Funktion und Abbildung sind Synonyme.

3. Die Schreibweise ist ein wenig irritierend, aber unter 4. sagst du ja, dass dein Buch das so notiert. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist der Name der Funktion, den Graphen (Menge aller Paare) notiert man meist als $\begin{eqnarray*} \Gamma_f \end{eqnarray*}$ . Dann wäre es $\begin{eqnarray*} (x, y) \in \Gamma_f ~\Leftrightarrow~ f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Die entspr. zweite Aussage ist dem nicht "gleich", da du ja x und y vertauscht hast.

4. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ein Objekt, nämlich eine Funktion mit eben diesem Namen. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist der Wert der Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist dann die Funktionsvorschrift. Wichtig ist, dass diese alleine eine Funktion nicht festlegt, da auch die Angabe von Definitions- und Zielmenge benötigt wird.
Dein Lehrbuch notiert den Graphen der Funktion nun ebenfalls als $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was ich ein wenig verwirrend finde, wobei es prinzipiell natürlich korrekt ist, wenn man eine Abbildung als eine Relation auffasst, es ist also ein bisschen eine Frage des Blickwinkels. Siehe die Erklärungen bei 3.

5. Die zweite Schreibweise, die korrekterweise übrigens $\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ lauten müsste, sagt: " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird abgebildet auf $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ". Die erste Schreibweise (am Beispiel), also $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ , sagt: "Der Funktionswert an der (allgemeinen) Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ". Letztlich erhält man also aus beiden Schreibweisen die selbe Information, aber es ist ein kleiner Unterschied. Prinzipiell ist $\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ in meinen Augen die "richtigere" Schreibweise, gegen die andere spricht aber nicht wirklich etwas.

6. Das solltest du mithilfe des Internets auch selber herausfinden können.

7. Eine Ordnungsrelation ist eben eine Relation mit besonderen Eigenschaften. Im genauen unterscheidet man sowas wie Quasi- und Halbordnungen, aber auch das lässt sich leicht selbst herausfinden, in der Regel meint man damit wohl Halbordnungen, die Relation muss also reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sein.

Die Frage, warum etwas eine (Ordnungs-)Relation ist, ist ein wenig absurd. Die Antwort ist: Weil sie eben die geforderten Eigenschaften erfüllt. Du kannst die Eigenschaften entweder nachweisen oder, wenn du es nicht glaubst, versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden.

air

06.10.2011, 14:00

134340

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Zitat:

Wichtig ist, dass diese alleine eine Funktion nicht festlegt, da auch die Angabe von Definitions- und Zielmenge benötigt wird.

Muss sowohl Definitionsbereich als auch Zielmenge gegeben sein? Weil die Zielmenge sind doch die y-Werte, die bekomme ich doch erst wenn ich x-Werte einsetze oder?

Zitat:

Dein Lehrbuch notiert den Graphen der Funktion nun ebenfalls als $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was ich ein wenig verwirrend finde, wobei es prinzipiell natürlich korrekt ist, wenn man eine Abbildung als eine Relation auffasst, es ist also ein bisschen eine Frage des Blickwinkels. Siehe die Erklärungen bei 3.

Also bezeichnet das f auf der linken Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} f = \left\{ (x, y) | (x, y) \in A\times B \text{ und } y=f(x)=x^2\right\} \end{eqnarray*}$ den Graphen der Funktion? Hab ich das so richtig verstanden?

5. Wo is der unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mapsto \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ ?

06.10.2011, 14:23

Airblader

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4. Ziel- und Bildmenge ist etwas Unterschiedliches. Auch $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto e^x \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion mit Zielmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das Bild ist aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{im} f = \mathbb R^+ \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Als Relation, rein mengentheoretisch, aufgefasst gilt für $\begin{eqnarray*} g\colon \mathbb R \to \mathbb R^+, x \mapsto e^x \end{eqnarray*}$ allerdings tatsächlich $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ . Das Problem hierbei ist ein gewisser Informationsverlust, denn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist surjektiv (und damit bijektiv), $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hingegen nicht. Zu genau dieser Problematik findest du hier etwas, es ist also gewissermaßen eine Definitionsfrage, ob man die Zielmenge als essentiell betrachtet. Da Surjektivität aber doch eine sehr wichtige Eigenschaft ist, würde ich dazu tendieren, die Zielmenge nicht zu vernachlässigen.

Zur Frage bzgl. des Graphen: Wie gesagt, fasst man eine Funktion als spezielle Relation auf, so ist dies rein formal korrekt. Einfach um Missverständnisse zu verhindern würde ich für diese Menge trotzdem lieber $\begin{eqnarray*} \Gamma_f \end{eqnarray*}$ schreiben und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Bezeichner der Funktion ansehen, aber das ist nicht zwingend nötig.

5. Der Unterschied ist einfach die Bedeutung bzw. so hat sich die Schreibweise eingebürgert. Es gibt sogar noch ein paar mehr Pfeile. Eine kleine Übersicht findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%2...e_Schreibweisen

air

06.10.2011, 14:28

134340

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Schön erklärt Freude

Ich hab alles verstanden, danke smile

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