Komplexe Zahlen - Einheitswurzel

05.10.2011, 20:56

Retep32

Komplexe Zahlen - Einheitswurzel

Hallo
Ich hier zwei Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiss, was ich falsch mache.

1)
$\begin{eqnarray*} z=cos((2\pi)/5)+i*sin((2\pi)/5) \end{eqnarray*}$
Zeige, dass z die 5.Einheitswurzel hat ( $\begin{eqnarray*} z^{5}=1 \end{eqnarray*}$ )

Ich hab dann folgende Formel angewendet:
$\begin{eqnarray*} w_{n}=\sqrt[n]{r}*|cos((v/n)+((2(n-1)*\pi)/n)+i*sin((v/n)+((2(n-1)*\pi)/n)| \end{eqnarray*}$
Wobei
$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{(cos((2\pi)/5)^{2}+sin((2\pi)/5}^2)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = arg(z)=arg(cos((2\pi)/5)+i*sin((2\pi)/5) \end{eqnarray*}$
- Hier hab ich schon die erste Frage: Wie rechne ich $\begin{eqnarray*} arg() \end{eqnarray*}$ mit dem TI-Taschenrechner aus? Ich kenne den Befehl nicht und habe es mit wolframalpha.com berechnet: $\begin{eqnarray*} v=(2\pi)/5 \end{eqnarray*}$
- Wenn ich die Werte eingesetzt habe, bekomme ich aber nie 1 raus, sondern ein Ergebnis wie $\begin{eqnarray*} 0.309017-0.951057*i \end{eqnarray*}$ , also ein Ergebnis mit i.

2)
$\begin{eqnarray*} w=1+i \end{eqnarray*}$
Bestimme die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} w/2 \end{eqnarray*}$ (also in der Form x+iy)
- Wie muss ich hier vorgehen?

Hoffe, dass mir jmd weiterhelfen kann.
mfG

05.10.2011, 21:08

Zündholz

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RE: Komplexe Zahlen - Einheitswurzel
Hallo,
Für die 1 würd ich verwenden $\begin{eqnarray*} \exp(i \phi)=\cos(\phi)+i\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .
Bei 2 verseh ich nicht genau wo dein Problem ist.

05.10.2011, 21:17

Retep32

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RE: Komplexe Zahlen - Einheitswurzel
Bei 1) bekomme ich dann immer noch das gleiche raus
und bei 2) ist mir ein fehler unterlaufen, es soll $\begin{eqnarray*} 2/w \end{eqnarray*}$ heissen. Mein Problem bei 2) ist, dass ich keinen schimmer hab, wie ich $\begin{eqnarray*} 2/(1+i) \end{eqnarray*}$ in die verlangte form umwandeln kann.

05.10.2011, 22:02

original

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RE: Komplexe Zahlen - Einheitswurzel

Zitat:

Original von Retep32
Mein Problem bei 2) ist, dass ich keinen schimmer hab, wie ich $\begin{eqnarray*} 2/(1+i) \end{eqnarray*}$ in die verlangte form umwandeln kann.

das Licht geht dir vielleicht auf, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1+i } \end{eqnarray*}$ erweiterst ..

(mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners )

nebenbei:
bei 1) hast du wohl die Frage nicht ganz richtig notiert / erfasst?
?->
"Zeige, dass z die 5.Einheitswurzel hat ( $\begin{eqnarray*} z^{5}=1 \end{eqnarray*}$ )"

-

05.10.2011, 22:48

Retep32

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Danke, jetzt hab ich 2) gelöst.

Bei 1) steht bei mir als Aufgabe "z bezeichnet die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=cos((2\pi)/5)+i*sin((2\pi)/5) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass z eine 5'te Einheitswurzel ist (also $\begin{eqnarray*} z^{5}=1 \end{eqnarray*}$ )."
Sry falls das im ersten Post falsch rüberkam.

05.10.2011, 23:05

original

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Zitat:

Original von Retep32

Bei 1) steht bei mir als Aufgabe "z bezeichnet die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=cos((2\pi)/5)+i*sin((2\pi)/5) \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass z die eine 5'te Einheitswurzel ist (also $\begin{eqnarray*} z^{5}=1 \end{eqnarray*}$ )."

wenn du diese komplexe Zahl z, die den Betrag 1 hat, mit 5 potenzierst,
dann multiplizierst du das Argument (dh den Winkel) mit 5

also ist $\begin{eqnarray*} z^{5}=cos((2\pi))+i*sin((2\pi)) = 1+0 \cdot i = 1 \end{eqnarray*}$

fertig.
na, ja
du könntest dir ja noch überlegen, welches denn smile

die anderen vier fünften Einheitswurzeln sind..

05.10.2011, 23:15

Retep32

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So einfach ist die lösung? Oh man... Wofür brauch ich denn dann die Formel die ich da aufgeschrieben hab und warum führt sie (zumindest bei mir) nicht zum richtigen Ergebnis?

Danke schonmal!

10.10.2011, 19:37

Retep32

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Ich hab dann doch noch eine Frage.

"wenn du diese komplexe Zahl z, die den Betrag 1 hat, mit 5 potenzierst,
dann multiplizierst du das Argument (dh den Winkel) mit 5 "

Wie schreibe ich das ganze richtig auf? Ich muss doch sicherlich auch den Betrag mit aufschreiben, der bei der Rechnung $\begin{eqnarray*} z^{5}=cos((2\pi))+i*sin((2\pi)) = 1+0 \cdot i = 1 \end{eqnarray*}$ ja fehlt, oder nicht?

mfG

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