Basis

31.12.2006, 01:18	Unendlich	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Hallo Leute, ich habe folgende Aufgabe zu lösen, Sei $\begin{eqnarray} V \in \mathbb R [x] \end{eqnarray}$ der dreidimensionale reelle Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2. Eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} A=\{1,x,x^2\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass auch $\begin{eqnarray} B=\{2x^2-x-1,-2x^2+3x+2,-x^2+x+1\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist. Ich weiss, wie man eine Basis von einem Vektorraum berechnet. Ich kann aber mit der Aufgabe gar nicht anfangen, weil ich noch nie so eine Basis für Polynom gesehen habe. Ich wäre für einen Tip sehr dankbar. Vielen Dank
31.12.2006, 01:26	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Es gelte $\begin{eqnarray} \lambda(2x^2-x-1) + \mu(-2x^2+3x+2) + \tau(-x^2+x+1) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Das lässt sich umschreiben zu $\begin{eqnarray} \lambda(2x^2-x-1) + \mu(-2x^2+3x+2) + \tau(-x^2+x+1) = (2\lambda-2\mu-\tau)x^2 + (-\lambda+3\mu+\tau)x - \lambda +2\mu + \tau = 0 \end{eqnarray}$ . Koeffizientenvergleich liefert die drei Gleichungen: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray} \begin{align} 2\lambda-2\mu-\tau &= 0 \\ -\lambda+3\mu+\tau &= 0 \\ -\lambda+2\mu+\tau &= 0 \end{align} \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Zeige, dass dieses nur für $\begin{eqnarray} \lambda=\mu=\tau=0 \end{eqnarray}$ lösbar ist. Gruß, therisen
31.12.2006, 01:32	Unendlich	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Hallo therisen, vielen Dank für deine schneller Antwort.

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