Rechenschritt/ Umformung bei Ungleichung nicht nachzuvollziehen

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05.10.2011, 21:02	roflol	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenschritt/ Umformung bei Ungleichung nicht nachzuvollziehen Guten Abend, Es geht darum die folgende Ungleichung zu beweisen: x²+1/1+4x² >= 3/4 Nun mache ich das auch soweit Richtig wie ich in den Lösungen kontrollieren konnte, erst mit (1+4x²) Multiplizieren, dann Umrechnen. jetzt bin ich an den Punkt angelangt wo ich nicht verstehe wie es weiter geht. Und zwar: von 4 (x^4 - 1/2 x^2) + 1/4 >= 0 auf 4 (x^2 - 1/4)^2 - 1/4 + 1/4 >= 0 Ich dachte ich "klammere das Quadrat aus" aber, woher kommt dann das -1/4 und wohin verschwindet das x aus der klammer? Ich bin da echt am verzweifeln und hoffe Ihr könnt mir schnell helfen! Liebe Grüße
05.10.2011, 21:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst sollten wir klären, wie die Aufgabe genau lautet. Ich vermute $\begin{eqnarray} \frac{x²+1}{1+4x²}\geq\frac 34 \end{eqnarray}$ Wenn Du dann mit $\begin{eqnarray} 1+4x² \end{eqnarray}$ multiplizierst, kürzt es sich auf der linken Seite raus und es bleibt die Ungleichung $\begin{eqnarray} x²+1\geq\frac34(1+4x²) \end{eqnarray}$ Ist es hingegen $\begin{eqnarray} x²+\frac{1}{1+4x²}\geq\frac 34 \end{eqnarray}$ ,dann erhältst Du nach Multiplikation $\begin{eqnarray} x²(1+4x²)+1\geq\frac 34(1+4x²) \end{eqnarray}$
05.10.2011, 21:26	roflol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenschritt/ Umformung bei Ungleichung nicht nachzuvollziehen Es ist zweiteres, wie bereits beschrieben komme ich aber danach nicht weiter, der Anfang ist mir klar und auch nachvollziehbar, es geht nur um die spätere Umformung. Schonmal vielen Dank für die flotte Antwort!
05.10.2011, 22:05	roflol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenschritt/ Umformung bei Ungleichung nicht nachzuvollziehen Da ich nicht mehr Editieren kann, verlagere ich die Diskussion mal in richtung Hochschulmathematik. Hier kann man zu machen! Bei Interesse und im Falle einer gefundenen Lösung kann ich diese natürlich auch hier nochmal kurz posten
05.10.2011, 22:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht verlagern, bleibe hier in diesem Thread. Falls du dasselbe Thema im HS-Forum eröffnen solltest, wird dieses dort (wegen Doppelposts) geschlossen! ________________ Hinweis zu deiner Frage: Quadratische Ergänzung! mY+
05.10.2011, 22:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann machen wir mal weiter: $\begin{eqnarray} x²(1+4x²)+1\geq\frac 34(1+4x²) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x²+16x^4+4\geq 3+12x² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 16x^4-8x²+1\geq 0 \end{eqnarray}$ Das ist zwar nicht ganz deine Darstellung, ist aber für die Lösung praktischer. Es geht nun mit der von mYthos genannten quadratischen Ergänzung weiter, um eine Produktdarstellung zu erhalten. Alternativ kannst Du eine binomische Formel daraus machen mit einem konstanten Rest.
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05.10.2011, 22:50	roflol	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry Leute, ich stecke iwie immer noch bei der $\begin{eqnarray} 4(x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} ) + \frac{1}{4} \geq 0 \end{eqnarray}$ fest, und weiss nicht was ich nun machen soll. Was mich so frustriert ist, dass ich von selbst genau diesen Weg eingeschlagen habe, dieser auch in den Lösungen so angegeben wird, Aber es geht in der Lösung mit $\begin{eqnarray} 4(x^{2} - \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \geq 0 \end{eqnarray}$ Weiter, und ich komme einfach nicht dahinter wie das von statten gehen soll... Vielen Dank für eure Tipps aber ich stehe irgendwie immer noch auf dem Schlauch. EDIT: wenns euch recht wäre, dann würde ich das rein aus Interesse gerne mal mit dieser Darstellung zu Ende mit Euch durchkauen. Vielen Dank
05.10.2011, 22:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mach' doch mal die Probe, indem du das Quadrat ausrechnest ... Die 1/4 kannst du einfach zu den ersten beiden Summanden (nach Multiplikation mit 4) dazuschreiben, dann wird das ein vollständiges Quadrat. Dies nennt man eben quadratische Ergänzung. Hier mit dem Vorteil, dass hinten schon der richtige Summand dasteht. mY+
06.10.2011, 10:04	roflol	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, jetzt hab ichs endlich begriffen, war wohl gestern einfach zu viel Mathe auf einen schlag... Trotzdem habe ich doch dann noch ein Vorzeichen Problem, in der Klammer steht ja + 1/16 wenn ich das Quadrat aus multipliziere. Vielen Dank für die bisherige Hilfe!
08.10.2011, 20:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sicher, 1/16 stimmt auch, nun muss man dies ja noch mit 4, welches vor der Klammer steht, multiplizieren, das macht + 1/4, mit den -1/4 wird's zu Null und dann passt es. mY+

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