Relationen auf N

06.10.2011, 14:41

rawfood

Relationen auf N

Hallo ich habe ein Problem bei einer Aufgabe. Und zwar ist folgende Aufgabenstellung gegeben.

Geben Sie an: a) Durchschnitt der Relation "größer oder gleich" und "kleiner oder gleich" auf den natürlichen Zahlen.

Wenn ich zwei Mengen habe, zum Beispiel A={(1,2,3} und B={3,4} dann wäre der Durchschnitt von A und B das Element {3}. Jetzt denke ich mir die Menge der natürlichen Zahlen. {1,2,3,4,5,6..N} und eine größer Gleich Beziehung von R = (a,b) für die gilt, dass die Zahl a größer oder gleich der Zahl b sein muss, wenn ich jetzt von hinten nach vorne betrachte, und sage. Hier fängt mein Denkproblem schon an. Betrachte ich mal, weil es für mich einfacher ist, die Relation kleiner gleich. 1 ist kleiner als 2, 3 bis N und N+1. Ich würde jetzt blöd und ohne wirklich zu begreifen was ich gerade denke sagen, dass der Durchschnitt wieder die natürlichen Zahlen sein müssen, weil die natürlichen Zahlen von der Ordnung her total sind, und die kleiner gleich und größer gleich Relation für jedes Element erfüllt ist.

Bitte korrigiert mich, weil ich versucht habe Argumente aus dem Buch aufzugreifen, und nicht glaube, dass ich das richtig mache. Bitte um Hilfe.

Lg
Rawfood

06.10.2011, 15:05

rawfood

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Ich habe nochmal nachgedacht. Eine Relation besteht ja immer zwischen den Elementen einer Menge zueinander(oder mehreren Mengen). Bei der kleiner Gleich Beziehung ist doch a<=a, und der Durchschnitt wäre doch für ein Element der Natürlichen Zahlen dann doch (a,a) oder nicht? Das ist zu abstrakt für mich. Bitte um Hilfe :-)

06.10.2011, 15:14

Airblader

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Du bist schon ganz nah dran. Die kleiner-gleich-Relation besteht aus allen Paaren (a,b), für die a <= b gilt. Analog besteht die größer-gleich-Relation aus allen Paaren (a,b) mit a >= b. Der Durchschnitt besteht dann aus allen Paaren (a,b), für die sowohl a <= b als auch a >= b gilt.
Jetzt hast du mehr oder weniger schon korrekt gesehen, dass dies a = b erzwingt. Der Durchschnitt besteht also aus .... ? Augenzwinkern

air

06.10.2011, 15:20

rawfood

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Ja der Gedanken, dass es sich um alle paare handelt kam mir nachdem abschicken. Auf deine Frage würde ich jetzt naiv Antworten, ohne zu wissen ob es den Begriff gibt, Reflexivrelation, da a=b ist. Ahhh! Ich lese gerade, dass was ich meine Identitätsrelation heißt. Stimmts?

06.10.2011, 15:23

Airblader

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Ja, es wäre die Identitätsrelation. Allerdings war die Aufgabe wohl nicht so gedacht, dass du einen Namen finden sollst, sondern einfach die Relation angeben im Sinne von 'aufschreiben' sollst. Augenzwinkern

air

06.10.2011, 15:30

rawfood

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Dann wäre für mich R = {(1,1),(2,2),(3,3),..,(N,N)}. Oder einfach R = {(a,b)} wobei a = b; Entschuldige bin noch ziemlich am torkeln bei mathematischen Überlegungen. Mhm, wie schreibe ich das nun richtig auf. Ich glaub R= {} ist die Mengenschreibweise. Vieleicht so aRb wobei a=b für alle a aus N?

Entschuldigung, für meine Inkompetenz Big Laugh

06.10.2011, 15:35

Airblader

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Da ist an jeder Schreibweise was dran, aber keine ganz richtig. Zum lernen ist man ja hier. Augenzwinkern

Eine Möglichkeit wäre

$\begin{eqnarray*} R_{\geq} \cap R_{\leq} = R_{=} = \{(a, b) \in \mathbb N \times \mathbb N ~|~ a = b\} \end{eqnarray*}$

air

06.10.2011, 15:55

rawfood

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Vieleicht bin ich ja komisch, aber ich empfinde die Art wie man Mathematik aufschreibt als attraktiv, schön, klar. Dieses eindeutige, genaue, exakte und unmißverständliche hat irgendwie seine eigene Schönheit. Ich finds richtig erstrebenswert Dinge auch so notieren zu können.

So zurück zum Thema. Vielen Dank für die Hilfe. Ich hab jetzt noch die Aufgabe B und C zu lösen. Bei B geht es um die größer und kleiner Beziehung. Bei B) würde ich jetzt grob sagen, dass der Durchschnitt die leere Menge ist, und bei C geht es um das Komplement der Relation "größer oder gleich".

Wenn ich zwei Mengen A ={1,2,3} und B={1,2,3,4} dann wäre das Komplement von AxB, B\A, also {4}. Naiv würde ich jetzt vermuten, dass das Komplement der "größer oder gleich" Relation auf der Menge der natürlichen Zahlen zum Ausschluß von a führt. RKomplement = {a,b aus NxN| b ungleich a}. Mist, vieleicht versteh ich gerade etwas nicht.

rawfood

06.10.2011, 16:19

Airblader

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Zitat:

Nein, du bist nicht komisch. So geht es wohl den meisten Mathematikern und mir ebenfalls. Augenzwinkern

Die B) hast du korrekt gelöst, die leere Menge stimmt – und zwar nicht nur grob, sondern ganz genau. Im Durchschnitt lägen ja alle Paare (a,b), für die a < b und a > b gilt, dies sind jedoch widersprüchliche Aussagen, werden also von keinem Zahlenpaar erfüllt.

Bei der C) musst du dir erstmal überlegen, was denn die "Gesamtmenge" ist. Das ist hier das kartesische Produkt $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ , also alle Paare natürlicher Zahlen. Die größer-gleich-Relation ist nun eine Teilmenge davon (nämlich alle Paare (a,b) mit a >= b). Das Komplement besteht dann aus all denen Paaren, die dies nicht erfüllen. Was ist denn das Gegenteil von a >= b?

air

06.10.2011, 19:47

rawfood

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Wenn etwas größer oder gleich dem anderen ist, und ich sein Gegenteil definiere, dann muss dieses welches größer gleich ist, als Gegenteil wohl kleiner sein. Soll das heißen es geht um die Menge R = {(a,b) aus NxN wofür gilt a<b}?

Ich hab die Menge aller paare {(1,1),(2,2),(3,3)...(n,n)} Was soll nun das Komplement davon sein? a kann ja nicht mehr gleich b sein, kann ja nur noch (1,2) richitg sein, und desweiteren (3,4) - was mich am Ende wieder auf die Menge der natürlichen Zahlen führen würde. Diese abstrakte Überlegung bereitet mir Kopfzerbrechen und ich brauche wirklich Hilfe, und Erläuterung, weil ich wirklich gar kein Gefühl habe wie ich zur richtigen Lösung gelang.

06.10.2011, 20:09

Airblader

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Ohje, es wird wirr. Machen wir das Ganze doch mal anhand eines kleinen Beispiels und nicht anhand aller natürlichen Zahlen.

Sei $\begin{eqnarray*} N = \{1, 2, 3\} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} N \times N = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)\} \end{eqnarray*}$

die Menge aller Paare. Die größer-gleich-Relation auf dieser Menge ist dann

$\begin{eqnarray*} R_\geq = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (3,1), (3,2)\} \end{eqnarray*}$

Das Komplement besteht dann eben aus allen Paaren, die zwar in $\begin{eqnarray*} N \times N \end{eqnarray*}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray*} R_\geq \end{eqnarray*}$ stehen ( $\begin{eqnarray*} R_\geq^C = (N \times N) \setminus R_\geq \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} R_\geq^C = \{(1,2), (1,3), (2,3)\} = R_< \end{eqnarray*}$

Wir sehen also, dass dies gerade die Paare $\begin{eqnarray*} (a,b) \in N \times N \end{eqnarray*}$ sind, für die $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn wir jetzt nicht $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ betrachten, wird sich daran nichts ändern (eine Tatsache, die du dir überlegen solltest).

Also nochmal zur Erklärung:
In der größer-gleich-Relation finden sich alle Paare $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ . In der zugrundeliegenden Gesamtmenge (dem Universum) $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden sich alle Paare. Wenn für ein Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ aber nicht $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt natürlich $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ (das sollte einleuchten) und genau diese Paare liegen ja per Definition im Komplement.

air

06.10.2011, 21:16

rawfood

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Ich hasse es wirklich Dinge nicht zu verstehen. Auch hasse ich es Dinge falsch anzugehen. Ganz ehrlich, ich schäme mich für meinen wirren Ansatz, vor allem jetzt wo du das Beispiel gebracht hast wo es sehr klar aussieht. Was ich besonders ärgerlich finde ist, dass ich mich nicht selbst gefragt habe, was bedeutet denn nun eigentlich das Kreuzprodukt für eine kleine Menge. Das ärgert mich nun wirklich stark, weil ich vor kurzem noch solche Kreuzprodukte erstellt habe, aber einfach nicht geschaltet habe. Wenigstens hab ich nun drauß gelernt Danke Airblade!!!!!!!

06.10.2011, 21:39

Airblader

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Wie gesagt, man fragt ja, um zu lernen. Augenzwinkern

air

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