Konstruktion reeller Zahlen via Cauchy-Folgen

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Muriell Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion reeller Zahlen via Cauchy-Folgen
Meine Frage:
Hallo zusammen!
Wir nehmen in der Uni gerade die Konstruktion reeller Zahlen durch. Reelle Zahlen werden dabei als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen dargestellt. Es gibt aber keine eindeutige Darstellung der reellen Zahlen, das die 1-er-Folge und 0,999... äquivalent sind.
Frage 1) Stellt man nun, um eindeutige Darstellungen zu finden, die Folgen also g-al-Zahlen dar?
Frage 2) Was besagt genau die Äquivalenzrelation? Ich kann mir das Abstrakte nicht so recht vorstellen.
Ich hoffe ihr versteht meine Fragen. Grüße, Muriell

Meine Ideen:
*
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruktion reeller Zahlen via Cauchy-Folgen
Zitat:
Original von Muriell
Frage 1) Stellt man nun, um eindeutige Darstellungen zu finden, die Folgen also g-al-Zahlen dar?
Frage 2) Was besagt genau die Äquivalenzrelation? Ich kann mir das Abstrakte nicht so recht vorstellen.


Hallo,

was sind denn g-al-Zahlen? g-adisch?

Du siehst hier Probleme, wo keine sind. Betrachtet wird die Menge aller Cauchy-Folgen auf , darauf wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Und dann können wir ja die Äquivalenzklassen betrachten und damit bestimmte Dinge machen.

Wie wurde denn die obige Äquivalenzrelation erstmal definiert? Kannst du die Definition umgangssprachlich erklären dann?

Abakus smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fang mal mit Punkt 2 an:
In diesem Kontext nennt man zwei Cauchy-Folgen
äquivalent sprich ist Nullfolge.
Anschaulich (oder was sich ein mathematiker drunter vorstellt ): Die Folgen kommen sich beliebig nah.
Zu Punkt 1: Ich hab keine Ahnung was g-al-Zahlen sind.
Aber man strebt keine eindeutige darstellung der reellen Zahlen an. Die rationalen Zahlen identifiziert man kanonischer Weise mit den konstanten Folgen. Bei allen anderen Zahlen ist eine eindeutige Darstellung schwierig bis unmöglich. Wenn ich Dir jetzt zwei Folgen hinschreiben würde wäre es nicht-trivial zu entscheiden ob sie ein und dieselbe relle Zahl darstellen.

Ich hoffe das klärt es etwas auf.

Edit: zu spät, und das bei der Wartezeit.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Sprich- die beiden Folgen a und b müssen gleich sein, dass man, wenn man sie subtrahiert, eine Nullfolge erhält? Mein Problem liegt leider schon an den "deutschen" oder "anschaulichen" Erklärungen von Cauchy-Folgen und an der Aussage, dass Folge a minus Folge b die Nullfolge ergeben soll...Wisst ihr was ich meine?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt Nullfolgen die nicht-konstant sind, ein einfaches Beispiel ist definiert durch:
; ist Nullfolge.
Die Folgen und sind Darstellungen derselben Zahl (2) durch verschiedene Cauchyfolgen über
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

ALSO: Reelle Zahlen sind Äquivalenzrelationen von Cauchy-Folgen (also Folgen, die auch irgendwie wie normale Folgen konvergieren) und zwar:
2 Folgen sind äquivalent, wenn (an)-(bn) eine Folge ist, die gegen "Null" konvergiert
richtig?
und was war der Unterschied zwischen normalen Folgen und Cauchy-Folgen?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verweise auf Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge
Darf ich Fragen welche Vorlesung das ist?
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Grundkurs
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Da sollten Cauchyfolgen vorher bereits definiert worden sein (die sind ja auch nicht unwichtig). Mal kurz zur Veranschaulichung: Bei Cauchy-Folgen kommen sich die Folgenglieder irgendwann beliebig nahe; Cauchy-Folgen sind aber nicht notwendig konvergente Folgen(Bsp. siehe Wiki) sonst wäre diese Konstruktion ziemlich sinnlos.
Muriell Auf diesen Beitrag antworten »

Die wikipedia seite habe ich auch schon gefunden, aber nicht verstanden. Ich habe immer ein Problem mit dem Epsilon oder wie das Fiech heißt. Was besagt n Epsilon bei ner Cauchyfolge und kann man es beliebig wählen??
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss sich das epsilon sogar beliebig wählen, das es allquantifiziert ist (Allquantor davorstehen hat).
Wenn Du Epsilontik (solche Epsilon-Konstruktionen) erklärt haben möchtest ist es wahrscheinlich sinnvoller einen neuen Thread dafür anzulegen.

P.S.Es ist Viech, kommt von Vieh.
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