Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt

06.10.2011, 17:21

Schweinski

Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt

Hallöle!

Ich habe als Hausaufgabe einen Beweis zu erbringen:
Wenn ein Viereck zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten hat, dann sind die Diagonalen zueinander orthogonal.
Als Figur dient ein Drachen (s. Bild). Nun habe ich mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} | = | \vec{AD} | \wedge | \vec{BC} | = | \vec{DC} | \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} * \vec{BC} = 0 \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} * \vec{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ( - \vec{a} + \vec{c}) * ( -\vec{b} + \vec{d} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a}* \vec{b} - \vec{a} * \vec{d} - \vec{b} * \vec{c} + \vec{c} * \vec{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

da die einzelnen Skalarprodukte wegen ihrer Orthogonalität ebenfalls 0 sind.

So 100%ig bin ich mir da nicht sicher. Was meint ihr?
Und: Kennt jemand noch Beispiele für Beweise mit Skalarprodukten? Kommt in unserer Klausur vor.

LG smile

06.10.2011, 17:31

riwe

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt
deine skizze ist aber sehr mau.

soweit ich sehe, benutzt du genau das zum beweis, was du ja erst beweisen sollst, oder verwirrt

06.10.2011, 18:17

Schweinski

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt
Sorry, ist halt nur eine Skizze...

Warum? Ich benutze doch nur die Vekoren a,b,c und d, um die Strecken auszudrücken. verwirrt

06.10.2011, 18:47

Schweinski

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt
Ah, jetzt habe ich verstanden, was du meinst!
Der Betrag von Vektor b ist ja gleich groß wie der von Vektor d. Also austauschbar!

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} * \vec{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ( - \vec{a} + \vec{c}) * ( -\vec{b} + \vec{d} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a}* \vec{b} - \vec{a} * \vec{d} - \vec{b} * \vec{c} + \vec{c} * \vec{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a}* \vec{b} - \vec{a} * \vec{b} - \vec{b} * \vec{c} + \vec{c} * \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

06.10.2011, 20:02

riwe

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt

Zitat:

Original von Schweinski
Ah, jetzt habe ich verstanden, was du meinst!
Der Betrag von Vektor b ist ja gleich groß wie der von Vektor d. Also austauschbar!

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} * \vec{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ( - \vec{a} + \vec{c}) * ( -\vec{b} + \vec{d} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a}* \vec{b} - \vec{a} * \vec{d} - \vec{b} * \vec{c} + \vec{c} * \vec{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \vec{a}* \vec{b} - \vec{a} * \vec{b} - \vec{b} * \vec{c} + \vec{c} * \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

ich sehe nirgendwo beträge.

sei a =(2,1), b =(1,0) und d = (0,1) also |b| = |d|

doch a*b = 2 und a*d = 1 unglücklich

edit:
schau einmal hier, da war der beitrag von frank09 nicht ganz umsonst Augenzwinkern

06.10.2011, 21:10

Schweinski

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt
Ja, dass ich die Betragsstriche vergessen habe ist mir im Nachhinein auch eingefallen. Freude

Kann ich die nicht einfach dabeisetzen, wenn ich in dem einen Schritt Vektor d durch b ersetze?

07.10.2011, 00:41

riwe

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt

Zitat:

Original von Schweinski
Ja, dass ich die Betragsstriche vergessen habe ist mir im Nachhinein auch eingefallen. Freude

Kann ich die nicht einfach dabeisetzen, wenn ich in dem einen Schritt Vektor d durch b ersetze?

wenn du nicht lesen kannst oder willst unglücklich

07.10.2011, 16:12

Schweinski

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RE: Orthogonalitäts-Beweis mit dem Skalarprodukt
Ich habe heute im Unterricht meine (veränderte) Version vorgerechnet. Der Ansatz und der Weg waren laut meinem Lehrer korrekt.
Allerdings stockte auch er irgendwann und wollte es über cos(180°-Phi) lösen. Hat aber auch nicht funktioniert.

Deswegen wurde ein neuer Ansatz gewählt: Wir haben die Orthogonalität durch
Vektor a* Vektor d = 0 und Vektor c * Vektor d = 0 bewiesen.

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