Stetig diff'bar + invertierbar => bijektiv?

06.10.2011, 19:16	gottfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig diff'bar + invertierbar => bijektiv? Eine Frage aus einem Multiplce-Choice-Test: Falls $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^{n} -> \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar ist und Df(x) invertierbar ist fuer alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{n} -> f(\mathbb R^{n} ) \end{eqnarray}$ bijektiv. Das ganz soll nun falsch sein. Nach meinem Wissen folgt aus stetiger Differenzierbarkeit und Invertierbarkeit der Jacobimatrix auch die Bijektivität, da ich eine Umkehrabbildung finde. Das einzige, wo ich mir unsicher bin, ist die komische Funktionsvorschrift, die sich irgendwie doppelt? Ich wäre auch sehr dankbar, wenn ihr mir eine konkrete Antwort geben könntet! Ich bin immer gerne bereit selbst die Antwort zu erarbeiten, nur schreibe ich morgen schon meine AnalysisII Klausur und wäre daher dankbar, die Begründung bis morgen zu kennen Lieben Dank schonmal
06.10.2011, 21:12	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Was ist an der Vorschrift komisch? Gegeben eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , diese sei stetig diffbar und die Ableitung ist auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ invertierbar. Was ist daran nicht klar? Was folgt jetzt mit dem Satz zur Umkehrabbildung? Schau dir diesen ganz genau an und vergleiche dieses mit der Behauptung. Tipp: Die Behauptung ist stärker, als das was der Satz liefert. Natürlich muss jetzt deswegen nicht die Behauptung falsch sein, also nur weil der Satz diese nicht impliziert, aber schauen wir uns mal Folgende Funktion an $\begin{eqnarray} f(r,\varphi) = (r\cos(\varphi)), r\sin(\varphi)) \end{eqnarray}$ Bestimme jetzt einen guten Definitionsbereich und schaue was die Funktion so macht. mfg Edit: Für die Aufgbae wäre sogar die Funktoin $\begin{eqnarray} f(x,y) = (e^x\cos(y),e^x\sin(y)) \end{eqnarray}$ besser geeignet, ist aber nur geschmackssache finde ich.
06.10.2011, 22:15	gottfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich hoffe es verstanden zu haben: Daraus, dass f überall invertierbar ist, folgt erstmal nur, dass zu jedem Punkt x im R³ eine Umgebung existiert in der x invertierbar ist. Das ist nicht dasselbe wie: f ist auf seinem ganzen Bild invertierbar. Wenn ich mich nicht irre, sind die genannten Funktionen nicht injektiv. Richtig?
06.10.2011, 22:30	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, jeder Punkt besitzt eine Umgebung, wo f invertierbar ist, also lokal invertierbar. Betrachtest du die beiden Funktionen, so sind diese nicht injektiv, aber die Jakobi Matrix ist invertierbar. Bei der ersten jedoch nur für positive r > 0, deswegen das 2te Beispiel mfg
06.10.2011, 22:31	gottfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kurze Zusatz/Verständnisfrage: Ist die Wahl der Umgebung dann aber nicht in der Form eingeschränkt, dass ich sie nur so wählen kann/darf, dass die Funktion in eben dieser Umgebung invertierbar ist? Ist das nicht etwas witzlos, oder übersehe ich etwas?
06.10.2011, 23:18	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist die Form eingeschränkt. Das entscheidende ist, dass es eine Umgebung überhaupt gibt! Natürlich erfüllen alle Teilmengen dieser Umgebung auch diese Eigenschaft, also zum Beispiel hinreichend kleine Kugeln um den Punkt wo die Ableitung invertierbar ist. Das die Form nicht beliebig sein kann zeigen ja die Beispiele, da kann man ja nicht einfach den ganzen Definitionsbereich nehmen, sondern muss im allgemienen diesen verkleinern. mfg
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »