Frage zu "klein oh"

31.12.2006, 13:04

PeterB

Frage zu "klein oh"

Hallo. Es geht um folgendes:

Wir wollen zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Dies haben wir so bewiesen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = exp( \frac{logn}{n}) = 1 + \frac{logn}{n} + .... = 1 + o(1) \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Mir ist soweit alles klar. Ich weiß nur nicht wie wir darauf kommen, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{logn}{n} + .... = o(1) \end{eqnarray*}$ ist.

Wär echt super, wenn mir das mal eine oder einer erklären könnte.

Danke schonmal.

31.12.2006, 13:31

sqrt(2)

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Es geht gegen 0. Schau in die Definition mit dem Limes, dann sieht man es sofort.

31.12.2006, 13:33

marci_

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = n^{ \frac {1}{n} } \end{eqnarray*}$

und gegen was geht nun $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

dann hast du es auch!

31.12.2006, 14:01

Abakus

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RE: Frage zu "klein oh"
Die Begründung für

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = exp( \frac{\log n}{n}) = 1 + \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in o(1) \end{eqnarray*}$

ist, dass $\begin{eqnarray*} exp \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion ist und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Beide Argumente sind hier nötig !

Grüße Abakus smile

31.12.2006, 14:09

brain man

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Es geht gegen 0. Schau in die Definition mit dem Limes, dann sieht man es sofort.

Meinst du damit, dass :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Aber da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^0=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist doch demzufolge

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}= \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}=1 \end{eqnarray*}$

Korriegiert mich, wenn ich falsch liege!

31.12.2006, 14:21

therisen

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Zitat:

Original von brain man

Zitat:

Original von sqrt(2)
Es geht gegen 0. Schau in die Definition mit dem Limes, dann sieht man es sofort.

Meinst du damit, dass :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, meint er nicht. Er meinte, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

31.12.2006, 14:28

brain man

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Zitat:

Nein, meint er nicht. Er meinte, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann war`s nur ein Verständnisfehler.

31.12.2006, 14:50

PeterB

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Zitat:

Original von Abakus
Die Begründung für

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = exp( \frac{\log n}{n}) = 1 + \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in o(1) \end{eqnarray*}$

ist, dass $\begin{eqnarray*} exp \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion ist und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Beide Argumente sind hier nötig !

Grüße Abakus smile

Mit dieser Begründung ist doch das "klein-oh" völlig überflüssig oder?

Wie genau kommt man auf das "klein-oh" o(1) ?

31.12.2006, 18:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von marci_
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = n^{ \frac {1}{n} } \end{eqnarray*}$

und gegen was geht nun $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

dann hast du es auch!

Zitat:

Original von brain man
Aber da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^0=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist doch demzufolge

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}= \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}=1 \end{eqnarray*}$

Korriegiert mich, wenn ich falsch liege!

In der Tat ist dieser Ansatz falsch. Hier läuft doch der Exponent gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und die Basis gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , aber gleichzeitig. Da könnt ihr nicht einfach im Exponenten $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen und das in der Basis aber nicht tun. Das geht nicht. Lässt man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei beiden gleichzeitig gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen, so kommt man auf $\begin{eqnarray*} \infty^0 \end{eqnarray*}$ , das ist ein unbestimmter Ausdruck! D.h. es kann alles mögliche rauskommen!

Gruß MSS

31.12.2006, 18:40

Frooke

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Dann wäre je auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1 \end{eqnarray*}$

=> Aber ich sehe die Notwendigkeit des Landausymbols in obigem Weg nicht ein... Alternativ kann man das Ding ja auch mit Epsilon und n zeigen Augenzwinkern

02.01.2007, 17:26

brain man

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von marci_
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = n^{ \frac {1}{n} } \end{eqnarray*}$

und gegen was geht nun $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

dann hast du es auch!

Zitat:

Sorry, dass ich so spät antowrte...

Tatsächlich ist meine Überlegung falsch - da habt ihr recht.

Diese Überlegungen gelten nur für :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 20:56

Abakus

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Zitat:

Original von PeterB

Zitat:

Mit dieser Begründung ist doch das "klein-oh" völlig überflüssig oder?

Wie genau kommt man auf das "klein-oh" o(1) ?

Da steckt die Stetigkeit drin (f habe hier einen geeigneten Definitionsbereich):

$\begin{eqnarray*} f \text{ stetig in } x_0 \Leftrightarrow f(x) = f(x_0) + \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in o(1) \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

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