Kern berechnen

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pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »
Kern berechnen
Hallo!

Wir sollten in unserer letzen Algebra Klausur folgendes lösen:

Sei R Integritätsring. Zeige mithilfe des Homomorphiesatzes
ist isomorph zu R

Ich habe den Einsetzungshomomorphismus f von nach R mit t wird abgebildet auf a gebildet.

Da gilt: ist isomorph zu f() und f ist surjektiv müsste ich jetzt nur noch zeigen, dass eben das von t-a erzeugte Ideal gerade der Kern von f ist.

Und da komme ich beim besten Willen nicht weiter. Ich muss ja jetzt irgendwíe sagen, sei g Element von und dann zeigen, dass man aus jedem g ein t-a ausklammern kann. Aber wie?

Könnt ihr mir einen Tip geben?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was Du zeigen willst ist doch:

Du musst also nur für jedes zeigen, dass (t-a) von g abgespalten werden kann; und dass im kern liegt.
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

Mein ich ja, hab mich oben nur verschrieben. Das ist auch nicht das Problem, das Problem ist, WIE ich das zeige. Wir hatten das schon mal mit nem Einsetzungshomomorphismus, bei dem aber die null eingesetzt wurde, das war das dann irgendwie leichter. Hier komm ich nicht weiter.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt Dir die Aussage:
was?
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt das große X her? Mir dämmert was, aber mit dem X kann ich nichts anfangen
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem ahben wir ja g schon, wie können wir aus einer Aussage über g schliesen, dass irgendein anderes g existiert???

soll es vielleicht heißen: "es existiert ein f"?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

DAs erste g ist ein tippfehler, das sollte f sein.
Ich schreibe die Aussage nochmal in voller Allgemeinheit hin:
Sei R ein Integritätsring(glaube es gikt sogar ein komm. Ringen, bin mir grade nicht sicher ), der zugehörige Poynomring,
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

Aha!

Ja, das kommt mir bekannt vor. Ich glaube, ich habe es verstanden, das ist ja sozusagen genau die Aussage, die wir haben wollen. Korrigiere mich bitte, wenn ichs jetzt falsch mache:

Wir nehmen uns unser und haben damit . Das ist nun aber äquivalent zu der Aussage, dass sich ein ausklammern lässt, das heißt: Jedes Polynom, was im Kern des Einsetzungshomomorphismus steht, ist in enthalten.

Richtig?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Du musst ja für ein beliebiges zeigen , dass ist.

Dabei merk ich grade Du hast den Buchstaben f schon für den Einsetzhomomorphismus
verbraten, deshalb Polynome dann bitte nicht f nennen. Ich hab´mir angewöhnt in diesem Kontext Ringhomomorphismen griechische Buchstaben( o.ä) zu verpassen um solche Doppelbennungen zu vermeiden.
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

naja, mal ganz unmathematisch: Ich hatte das jezt so verstanden, dass im Kern doch wohl alle Polynome sind, die, wenn man a einsetzt null ergeben. Jetzt wissen wir aber auch für alle Polynome, die bei a eine Nullstelle haben, also die gleichen, ein g existiert, dass mit t-a multipliziert eben wieder das Polynom ergibt. Haben wir damit nicht gezeigt, dass man aus jedem beliebigen Polynom, dass sich im Kern befindet, ein t-a ausklammern kann?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube Du hast verstanden warum das funktioniert. Bei der Klausur gehörts aber dazu das Ganze mathematisch sauber hinzuschreiben (sonst gibts 0 Punkte, so hab´ich das immer gahandhabt). Ich fang mal an mit: Sei
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

dann gilt: g(a) = 0

Daraus folgt mit obigen lemma (nennen wir den hom. tatsäclich lieber phi, ich weiß aber nicht, wo man das im Formeleditor findet):



Mit folgt nun:

Und das war ja, was ich zeigen wollte...

gibt's so nen Punkt? Augenzwinkern
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar.
Als Anmerkung noch. Du musst noch die Gegenrichtung zeigen, also
und der LaTex-Befehl für phi ist \phi (wie für alle anderen griechischen Buchstauben auch).
pimslisabeth Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar!

Ich danke dir! Meine Übungspartnerin und ich sind heute darüber verzweifelt, dabei war's im Endeffekt ja gar net so schwer smile

Eine gute Nacht wünsch ich smile
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