Kurze Frage zu Intervallen und beschr. Funktionen |
| 31.12.2006, 14:13 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Kurze Frage zu Intervallen und beschr. Funktionen Und zwar ist eine Funktion f: D auf R beschränkt wenn mit Was ich jetzt nicht verstehe ist folgendes : Seien a < b reelle Zahlen f:[a,b] -> R stetig. Dann ist f beschränkt und nimmt ihr maximum und Minimum an. Warum gilt denn folgendes nicht ? Seien a < b reelle Zahlen f:(a,b) -> R stetig. Dann ist f beschränkt und nimmt ihr maximum und Minimum an. Beim zweiten habe ich ja ein offenes Intervall aber wenn a und b nicht im Intervall liegen dann doch die Punkte direkt vor dem Intervallende. Wieso gilt der Satz dann nicht ? |
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| 31.12.2006, 14:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Kurze Frage zu Intervallen und beschr. Funktionen Was ist mit der Funktion: Wo soll die z.B. ihr Maximum annehmen? Bzw. beschränkt sein? |
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| 31.12.2006, 14:24 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja schon aber warum sollte die Funktion denn auf [0,1] beschränkt sein ? |
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| 31.12.2006, 14:28 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Funktion ist doch gar nicht auf definiert!! |
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| 31.12.2006, 14:31 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm ok das bringt mich jetzt auch nicht weiter. Also kann man nicht pauschal sagen das jede Funktion f:(a,b) -> R stetig nicht beschränkt ist ? Es gibt also sowohl stetige Funktionen die auf (a,b) beschränkt sind als auch welche die nicht beschränkt sind. Aber alle Funktionen die stetig sind f:[a,b] -> R sind auch beschränkt so richtig ? |
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| 31.12.2006, 14:34 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schlecht formuliert, aber ja. |
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| 31.12.2006, 14:56 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir haben z.b. auch aufgeschrieben : Bemerkung : Es ist wichtig, dass [a,b] beschr. abg. Intervall. f:(0,1) -> R, f(x) = x ist stetig und nimmt weder ihr Sup(=1) noch ihr Inf(=0) an. Und das ist genau der Punkt den ich nicht richtig begreifen will oder kann. Die Funktion nimmt doch ihr Supremum dann eben bei 0,99 an und ihr Inf(=0,1). Oder nimmt sie diese nicht an, da egal wie klein ich mein Infimum bzw wie groß ich mein Supremum auch wähle ich finde immer eine Zahl in R die größer als mein gewähltes Supremum ist und kleiner 1? Also sei m mein Supremum und da offener Intervall vorliegt gilt x < 1. Da wir in R sind finde ich immer ein m' für das gilt : m < m' < 1. Müsste so stimmen oder ? |
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| 31.12.2006, 15:07 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, etwas allgemeiner: Es ist wichtig, dass die Teilmenge deines Definitionsbereiches kompakt ist. Das Bild einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge ihres Definitionsbereiches ist nämlich ebenfalls kompakt, daher ist die Funktion auch beschränkt und sie nimmt ihr Maximum und Minimum an 
Nein.
Kommt der Sache schon näher
Gruß, therisen |
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| 31.12.2006, 18:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum wählen? Du kannst kein Supremum wählen. Das Supremum ist auf eine bestimmte Art und Weise definiert und damit ist es hier - Punkt! Und taucht als Funktionswert nunmal nicht auf, damit wird das Supremum nicht angenommen. Wüsste nicht, was das mit dem Wählen eines Supremums zu tun hat. Wie gesagt, denke ich, dass das, was du meinst, gar nicht möglich ist. Gruß MSS |
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| 31.12.2006, 21:02 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja ich schreib das zu meinem Verständnis nicht immer exakt hin. Wollte damit halt ausdrücken, dass es kein Supremum geben kann denn sollte m doch ein Supremum sein so "fände" man ein m' welches größer als m ist was wiederum heißt, dass m kein Supremum ist. Das Spielchen kann man beliebig oft fortsetzten da 1 ja nicht im Intervall liegt demnach gibt es hier also kein Supremum. |
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| 01.01.2007, 18:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich gibt es ein Supremum! Es ist - Punkt. Meinst du eventuell, dass es kein Maximum gibt?! Das wäre korrekt, aber das mit dem Supremum ist quatsch. Gruß MSS |
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| 01.01.2007, 18:41 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also :
das soll dann heißen das für : das Supremum = 1 ist ? 1 ist jedoch nicht im Intervall |
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