Ableitung Irrationale Funktion

06.10.2011, 21:15

Ascareth

Ableitung Irrationale Funktion

Hallo,

ich verstehe nicht ganz wann eigentlich höhere Ableitungsregeln (Produkt / Quotienten regel etc.) angewendet werden müssen. Kann man sagen, dass, immer wenn x in einer anderen Potzenz als 1 vorkommt, höhere Ableitungsregeln angewendet werden müssen?

Mal ein Beispiel. Ich habe folgendes zuerst so abgeleitet:
(Das ist jetzt nicht die komplette Funktion, sondern nur der komplizierte Teil davon)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}= -\frac{4x}{9 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

richtig wäre aber:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Bei der richtigen Lösung wurde 2 mal die Kettenregen angewendet. Ich bin mir da wie gesagt immer unsicher, wann die normalen Potzengesetze nicht mehr ausreichen, und man höhere Ableitungsregeln anwenden muss.

Gibt es da eine Regel?

06.10.2011, 22:06

lgrizu

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RE: Ableitung Irrationale Funktion

Zitat:

Original von Ascareth

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}= -\frac{4x}{9 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichheit stimmt nicht.

Und was verstehst du unter "höheren Ableitungsregeln"?

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=\frac{1}{3} \cdot (x^2+1)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ .

Darauf kann man nun ganz normal die Kettenregel loslassen.

Zitat:

Original von Ascareth

$\begin{eqnarray*} -\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Diesen Ausdruck kann man noch kürzen....

07.10.2011, 10:27

Ascareth

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Ich weiß das die erste Gleichheit nicht stimmt. Das sagte doch, dass ich es falsch gemacht habe, und nicht verstehe, warum für das richtige Ergebnis zwingend höhere Ableitungsregeln (Kettenregel) angewendet werden müssen. Mit höheren/komplexeren Ableitungsregeln meine ich beispielsweise: Quotientenregel, Produktregel, Kettenregel. Es gibt da keine mathematische Gliederung in der Hinsicht. Diese sind einfach etwas komplexer in der Anwednung, als die Exponentenregel. Nochmal das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}= -\frac{4x}{9 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ Das ist falsch, ist mir klar.

Das hier ist richtig.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=-\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Auf das falsche Ergebnis bin ich gekommen, weil ich nur 1 Mal die Kettenregel angewendet habe, und zwar für die Wurzel. Warum man auf das Quadrat der Klammer noch einmal die Kettenregel anwenden muss verstehe ich nicht. Ich zeige mal wie ich es gemacht habe, was leider falsch ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=\frac{1}{3} \cdot (x^2+1)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ Hiervon bin ich ausgegangen. Für die Ableitung habe ich dann einfach die Kettenregel auf die vereinfachte Potenzschreibweise angewendet, also ...:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2+1)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x=\frac{4x}{9\sqrt[3]{(x^2+1)^5}} \end{eqnarray*}$

Warum hätte man für das Quadrat der Klammer denn jetzt auch noch mal die Kettenregel anwenden müssen?

Gruß, Asca

07.10.2011, 10:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}= -\frac{4x}{9 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ Das ist falsch, ist mir klar.

Das hier ist richtig.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=-\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Das für sich genommen, ist schon mal Quatsch. Ich habe einige Minuten gebraucht, bis ich verstanden habe, daß rechts die Ableitung von dem als Funktion genommenen linken Term stehen soll. Wenn schon, dann mußt du das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{4x}{9 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} f'(x) =-\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ascareth
Warum hätte man für das Quadrat der Klammer denn jetzt auch noch mal die Kettenregel anwenden müssen?

Das hängt davon ab, welche Funktionen du miteinander verschachtelst, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen. Diese einzelnen Funktion mußt du dann natürlich richtig ableiten.

07.10.2011, 10:50

Ascareth

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Die eigentliche Funktion von der ich die zweite Ableitung bilden will, wollte ich somit ersparen. Was ich hier dargestellt habe, ist lediglich v einer Ableitung auf die ich die Quotientenregel angewendet habe. Es soll also v' ermittelt werden.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Ascareth
Warum hätte man für das Quadrat der Klammer denn jetzt auch noch mal die Kettenregel anwenden müssen?

Das hängt davon ab, welche Funktionen du miteinander verschachtelst, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen. Diese einzelnen Funktion mußt du dann natürlich richtig ableiten.

Ja, gut. Wovon hängt das denn ab?

Die Potenzschreibweise für die Wurzel ist doch richtig, warum kann ich das dann nicht einfach mit der Potenzregel ableiten?

Warum muss man da 2 Mal die Kettenregel anwenden?

07.10.2011, 11:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Die eigentliche Funktion von der ich die zweite Ableitung bilden will, wollte ich somit ersparen. Was ich hier dargestellt habe, ist lediglich v einer Ableitung auf die ich die Quotientenregel angewendet habe. Es soll also v' ermittelt werden.

Das ändert nichts an meinem Einwand.

Zitat:

Original von Ascareth
Die Potenzschreibweise für die Wurzel ist doch richtig, warum kann ich das dann nicht einfach mit der Potenzregel ableiten?

Kannst du doch auch und hast ja auch damit das richtige Ergebnis erhalten. Nur hast du bislang nicht verraten, auf welchem anderen Weg du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ abgeleitet hast.

07.10.2011, 11:17

Ascareth

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Ich habe nicht veraten wie ich den Term abgeleitet habe?!

Ok, also hier nochmal:

Das ist der Term zur Potzenschreibweise:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=\frac{1}{3} \cdot (x^2+1)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Und das ist die Anwendung der Kettenregel und der Potzenzregel auf den Term in Potzenzschreibweise.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2+1)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x=\frac{4x}{9\sqrt[3]{(x^2+1)^5}} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist immer noch dieselbe. Warum muss die Kettenregel für die Wurzel und für die Klammer angewendet werden? Warum läßt sich nicht die Potzenzschreibweise direkt ableiten?

07.10.2011, 11:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Warum läßt sich nicht die Potzenzschreibweise direkt ableiten?

Natürlich geht das, wie man sieht.
Richtig ist allerdings: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2+1)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x = - \frac{4x}{9\sqrt[3]{(x^2+1)^5}} \end{eqnarray*}$

Es ging mir aber um deinen anderen Rechenweg, wo du sagst, daß das Ergebnis falsch ist.

07.10.2011, 11:33

Ascareth

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Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2+1)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x ~~~ f'(x)= - \frac{4x}{9\sqrt[3]{(x^2+1)^5}} \end{eqnarray*}$

Bitte schreibe f(x) = ... und f'(x) = ...
Alles andere ist Quatsch.

Es ging mir aber um deinen anderen Rechenweg, wo du sagst, daß das Ergebnis falsch ist.

Ich glaube wir schreiben aneinander vorbei verwirrt

Das hier ist mein Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2+1)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x ~~~ f'(x)= - \frac{4x}{9\sqrt[3]{(x^2+1)^5}} \end{eqnarray*}$ Der ist aber für das Ausgangproblem flasch.

Das Ausgangsproblem ist dieser Term (von mir aus auch Funktion):
$\begin{eqnarray*} f_{(x)}=\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

Richtig ist das hier:
$\begin{eqnarray*} f_{(x)}\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x^2+1)^2}}<br /> f'_{(x)}-\frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} \end{eqnarray*}$

Für die richtige Lösung wurde 2 mal die Kettenregel verwendet. Ich verwende hingegen die Potzenzschreibweise, und leite diese ab (also nur 1 mal die Kettenregel), komme dann aber nicht auf das richtige Ergebnis.

07.10.2011, 12:08

klarsoweit

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Beides ist richtig, denn es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{4 x (x^2+1)}{9 \sqrt[3]{((x^2+1)^2)^4}} = \frac{4 x (x^2+1)}{9 (x^2+1)^{8/3}} = \frac{4 x}{9 (x^2+1)^{5/3}} \end{eqnarray*}$

07.10.2011, 12:11

Verkasematucker

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Bei 'komplizierteren' Ausdrücken ist es manchmal nicht ungünstig einfach in kleinereren Schritten vorzugehen.

Betrachte als zunächst mal

$\begin{eqnarray*} g(x):=\frac 1{3\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x):=(x^2+1)^2. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=g(h(x)) \end{eqnarray*}$

und gemäß Kettenregel gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=h'(x)\cdot g'(f(x)). \end{eqnarray*}$

Um nun die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zu bestimmen kannst Du z.B. die Ketten- oder die Quotientenregel benutzen (oder direkt ablesen) und für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Ketten- oder die Produktregel.

07.10.2011, 12:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Verkasematucker
und gemäß Kettenregel gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=h'(x)\cdot g'(f(x)). \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = h'(x) \cdot g'(h(x)) \end{eqnarray*}$

07.10.2011, 12:46

Ascareth

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Werd ich wohl noch üben müssen.

Thx erstmal.

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