Summenberechnung (sigma)_aufgabe

06.10.2011, 21:32

matheanfänger123

Summenberechnung (sigma)_aufgabe

Hallo Leute, kann mir mal jemand erklären warum:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{50} (-1)^k*k^2 \end{eqnarray*}$

= 1275 als Lösung rauskommt (http://www.wolframalpha.com/input/?i=sig...%29*%28k%5E2%29)

die Formel (1-a^n+1) / 1-a darf ich ja nicht verwenden da, dieße nur für alle Natürlich Zahlen (ungleich 1) gilt.

die zweite ist die normale quadratische Summenformel.

Nur wie kommt man auf das Ergebnis von Wolframalpha, oder ist da ein Fehler?

06.10.2011, 21:37

René Gruber

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Du könntest jeweils einen ungeraden Index $\begin{eqnarray*} k=2j-1 \end{eqnarray*}$ und den nachfolgenden geraden Index $\begin{eqnarray*} k=2j \end{eqnarray*}$ zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{50} (-1)^k \cdot k^2 = \sum\limits_{j=1}^{25} \left( (-1)^{2j-1} \cdot (2j-1)^2 + (-1)^{2j} \cdot (2j)^2 \right) \end{eqnarray*}$

Der Summand rechts lässt sich jetzt drastisch vereinfachen, anschließend die wohlbekannte Gaußsche Summenformel anwenden.

06.10.2011, 22:06

matheanfänger123

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hey danke für die schnelle Antwort,

hmmm... also deine Lösung wird in wolframalpha auch als richtig gekennzeichnet,

jedoch verstehe ich gerade dabei die logik nicht.

diesen ganzen term jetzt ist das jetzt der start? bzw. wie wende ich das nun an die n*(n+1)/2 (summenformel) an? verwirrt

06.10.2011, 22:11

René Gruber

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Hast du das "drastisch vereinfachen" gelesen - und auch getan? Anscheinend noch nicht.

Und leg mal dieses wolframalpha weg, das kann man alles von Hand berechnen.

06.10.2011, 22:22

matheanfänger123

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Da ich das Thema erst seid kurzem angefangen habe, brauche ich halt auch Lösungen von den Aufgaben, sonst weiss ich ja nicht ob es richtig ist was ich da rechne.

damit hat mir wolframalpha schon oft geholfen, sodass ich wusste ob ich es nun richtig gelöst habe oder nicht. das ist ja nur zum nachprüfen der ergebnisse

06.10.2011, 22:24

René Gruber

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Bist du nun willens, den Term

$\begin{eqnarray*} \left( (-1)^{2j-1} \cdot (2j-1)^2 + (-1)^{2j} \cdot (2j)^2 \right) \end{eqnarray*}$

zu vereinfachen, oder eher nicht? Vielleicht eine Hilfestellung:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{2j-1} = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^{2j} = 1 \end{eqnarray*}$

EDIT: Wie es aussieht, fehlt der Wille. Meiner jetzt allerdings auch, hier den Alleinunterhalter zu spielen. unglücklich

07.10.2011, 16:20

matheanfänger123

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Zitat:

Original von René Gruber

EDIT: Wie es aussieht, fehlt der Wille. Meiner jetzt allerdings auch, hier den Alleinunterhalter zu spielen. unglücklich

Nicht der Wille, sondern das draufkommen auf die Logik.

dass der Vorfaktor (-1) bei jedem ungeraden exponenten negativ und bei geraden exponenten positiv wird und dass sich diese Vorfaktoren mit jedem (j+1) abwechseln ist mir schon klar, trotzdem komme ich nicht darauf, wie es weitergeht.

07.10.2011, 16:23

René Gruber

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Ich muss das jetzt als pure Faulheit ansehen, einfach die simple Rechnung

$\begin{eqnarray*} (-1)^{2j-1} \cdot (2j-1)^2 + (-1)^{2j} \cdot (2j)^2 = -(2j-1)^2 + (2j)^2 = -(4j^2-4j+1)+4j^2 = 4j-1 \end{eqnarray*}$

so beharrlich zu verweigern. Und deswegen ist jetzt auch für mich hier im Thread Schluss. böse

07.10.2011, 16:38

matheanfänger123

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Den Binom hatte ich gestern auf Papier auch schon raus und zusammengefasst, nur war und besteht mein Problem, wie ich das erkenne, beispielsweise wie du es so schön substituiert hast (k=2j-1), ich meine sowas sieht man ja nicht direkt auf den ersten Blick.

muss man alles immer so umformen? bei richtig komplizierten summenaufgaben wird da schon viel zeit verloren gehen, wie man es am besten umformt und genau da ist der hacken.

07.10.2011, 23:20

René Gruber

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Zitat:

Original von matheanfänger123
ich meine sowas sieht man ja nicht direkt auf den ersten Blick.

Die Idee dahinter hatte ich doch gleich zu Anfang genannt:

Zitat:

Original von René Gruber
Du könntest jeweils einen ungeraden Index $\begin{eqnarray*} k=2j-1 \end{eqnarray*}$ und den nachfolgenden geraden Index $\begin{eqnarray*} k=2j \end{eqnarray*}$ zusammenfassen:

Warum man sowas macht, ist angesichts der Alterniertheit der Reihe so weit hergeholt nicht.
Ob man nun darauf kommt oder nicht, aber ich hatte dir ja die Idee genannt. Warum nur hast du danach auch nach dreimaliger (!) Aufforderung nicht den kleinsten Finger gerührt? Null Vertrauen, dass diese Aussage

Zitat:

Original von René Gruber
Der Summand rechts lässt sich jetzt drastisch vereinfachen, anschließend die wohlbekannte Gaußsche Summenformel anwenden.

stimmt, oder was ist der Grund für so eine Verweigerungshaltung? Ich verstehe es nicht, das ist hier doch die "Hochschulmathematik". unglücklich

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