Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1

31.12.2006, 14:58

Luggi

Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1

Hi,

wahrscheinlich eine ziemlich trivale Frage für Profis, aber ich komme einfach nicht so recht auf den Lösungsansatz :-(

Wer kann mir helfen, wie ich alle komplexen Wurzeln aus der Zahl -1 errechnen kann?

Danke!!!

Luggi

31.12.2006, 15:16

tigerbine

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RE: Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1
-1 = i²

31.12.2006, 15:24

kiste

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$\begin{eqnarray*} -1 = 1\cdot e^{\pi i + 2k\pi i} ~,k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
das wird dir helfen

31.12.2006, 17:17

isi1

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RE: Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1

Zitat:

Original von Luggi
alle komplexen Wurzeln aus der Zahl -1 errechnen kann?

Hallo Luggi,
sie ergeben sich aus dem Satz des Moivre http://de.wikipedia.org/wiki/Moivre

Die Wurzeln liegen alle auf dem Einheitskreis
die 2. Wurzel, wurde durch tigerbine schon beantwortet: +- i

die 4. Wurzeln sind $\begin{eqnarray*} \frac{\pm 1 \pm i }{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Grüße aus München, isi

Edit: Hier nochmal die explizite Berechnung mit dem Moivreschen Satz

$\begin{eqnarray*} \cos n\alpha + i\cdot \sin n\alpha = \left(\cos \alpha + i\cdot \sin \alpha \right) ^n \end{eqnarray*}$
mit n = 1/4

$\begin{eqnarray*} \cos\frac{\alpha}{4} + i\cdot \sin \frac{\alpha}{4} = \sqrt[4]{\cos \alpha + i\cdot \sin \alpha } = \sqrt[4]{-1} \end{eqnarray*}$
So, und wie muss ich nun $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wählen, damit der Ausdruck unter der Wurzel stimmt? ---> $\begin{eqnarray*} \alpha = \pi \end{eqnarray*}$ ist 180°

Eingesetzt in den linken Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} = \cos\frac{\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

02.01.2007, 12:14

Luggi

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RE: Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1
Hi isi

Danke für die schnelle Hilfe (auch an tigerbine und kiste), bin ein Stück weiter aber steh vermutlich noch immer auf der Leitung. Das gleiche Ergebnis bekomme ich zwar auch am Taschenrechner, aber die Herleitung hab ich noch nicht ganz zusammen.

Ich hatte mir mal den Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{i^2} = \sqrt{i} = \sqrt{(0+1i)} \end{eqnarray*}$ überlegt um die trigonometrische Form bestimmen und somit die Wurzel berechnen zu können.

Allerdings ist dieser Ansatz falsch bzw. bringt er mich nicht weiter, da ich dann als Ergebnis wieder 1 als 4. Wurzel von -1 bekomme.

Vielleicht kannst Du mir Dir Herleitung zu deiner Berechnung noch ein wenig detaillierter zeigen (da die Lösung über Gradmass und ohne $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ funktionieren sollte).

Vielen Dank schon mal!!!

Luggi

02.01.2007, 12:28

Leopold

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Du solltest im Komplexen das Wurzelzeichen nicht verwenden, ohne nähere Angaben zu seiner Bedeutung zu machen. Die damit zusammenhängende Problematik wurde im MatheBoard schon oft diskutiert.

Wie schon so oft, biete ich in meinem Windmühlenkampf gegen voreilige Trigonometrie eine Alternativlösung an:

$\begin{eqnarray*} z^4 = - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ z^4 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt zerlege das Polynom $\begin{eqnarray*} z^4 + 1 \end{eqnarray*}$ mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} z^4 + 1 = \left( z^2 + az + 1 \right) \left( z^2 + bz + 1 \right) \end{eqnarray*}$

in quadratische Faktoren. Dazu mußt du nur die rechte Seite ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen. Das Besondere ist, daß sich rein reelle Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ergeben. Anschließend sind dann noch zwei reelle quadratische Gleichungen komplex zu lösen. Dafür gibt es aber eine bekannte Formel ...

02.01.2007, 13:20

isi1

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RE: Alle komplexen 4. Wurzeln aus -1

Zitat:

Original von LuggiVielleicht kannst Du mir Dir Herleitung zu deiner Berechnung noch ein wenig detaillierter zeigen (da die Lösung über Gradmass und ohne $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ funktionieren sollte).

Verwenden wir doch Deinen Vorschlag, Luggi,

Zitat:

Original von LuggiIch hatte mir mal den Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{i^2} = \sqrt{i} = \sqrt{(0+1i)} \end{eqnarray*}$ überlegt um die trigonometrische Form bestimmen und somit die Wurzel berechnen zu können.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{i^2} = \pm\sqrt{i} = \pm\sqrt{(0 \pm 1i)} \end{eqnarray*}$

Also, wir suchen z, so dass $\begin{eqnarray*} z^2 = i \end{eqnarray*}$ wird.

Binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (a+ib)^2= i \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 + 2ab*i = i \end{eqnarray*}$
Real- und Imaginärteil trennen:

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} a = \pm b \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} ab = \pm\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} \pm a = \pm b = \frac{sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich
$\begin{eqnarray*} x_{1,2,3,4} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm i * \frac{ \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$
Edit: Die Lösung mit Hilfe der Moivre-Satzes habe ich oben ergänzt

03.01.2007, 18:55

Luggi

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Jetzt ist der Groschen gefallen, man darf wirklich nicht gleich mit der Wurzelrechnung anfangen....

Tja muss wohl noch ein wenig pauken bis das schneller kommt unglücklich

Vielen Dank nochmals für Eure superschnelle Hilfe
ist wirklich ein tolles Forum Freude

Grüsse

Luggi

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